Um picnômetro § de 620 g foi usado nas seguintes medidas sobre três amostras \mathrm{A}, \mathrm{B} e C de um mesmo solo. A amostra A foi totalmente saturada, a amostra B foi completamente seca em estufa e a C parcialmente saturada. A massa do picnômetro cheio de água foi 1495 g e a massa específica da amostra C foi determinada igual a 1,98 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Outros dados:
Massa (g) Amostra
A B C
Solo 1020 980 990
Picnômetro + Solo + Agua 2030 2112 2062
Determine:
a) Massa específica dos grãos;
b) Teor de umidade e índice de vazios da amostra A;
c) Teor de umidade, e indice de vazios e grau de saturação da amostra C

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede (vou listar todos os números que aparecem, e nada será assumido sem cálculo).
Dados fornecidos:
  • Massa do picnômetro vazio: m_P = 620\\ \mathrm{g}.
  • Massa do picnômetro cheio de água: m_{P+w}=1495\\ \mathrm{g}.
  • Tabela (todas massas em g):
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Massa (g)} & \text{Amostra A} & \text{Amostra B} & \text{Amostra C}\\\ \hline \text{Solo (massa do ensaio)} & 1020 & 980 & 990\\\ \hline \text{Picnômetro + Solo + Água} & 2030 & 2112 & 2062\\\ \hline \end{array}
  • Foi dito: amostra A totalmente saturada; B completamente seca (isto é, massa dada para B é massa seca); C parcialmente saturada.
  • Foi dada também a massa específica da amostra C igual a 1,98\\ \mathrm{g/cm^3}. (Observação: mais adiante vamos comentar sobre esse dado — ele parece incompatível com as demais informações numéricas; seguirei os dados experimentais da balança para os cálculos principais.)
O que o problema pede:
a) Determinar a massa específica dos grãos (densidade dos sólidos / massa específica dos grãos).
b) Para a amostra A (saturada): determinar o teor de umidade w e o índice de vazios e.
c) Para a amostra C: determinar o teor de umidade w, o índice de vazios e e o grau de saturação S.

Passo 2

Primeiro achar o volume do picnômetro (em cm³), usando a massa de água que ele comporta.
Explicação curta do conceito: a água tem densidade \rho_w = 1{,}00\\ \mathrm{g/cm^3} (à temperatura padrão usada em problemas didáticos). Assim, massa de água em gramas = volume de água em cm³.
Cálculo da massa de água que enche o picnômetro:
m_{\text{água\_no\_P}} = m_{P+w} - m_P = 1495 - 620 = 875\\ \mathrm{g}.á
Como \rho_w=1\\ \mathrm{g/cm^3}, o volume do picnômetro é
V_P = 875\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 3

Determinar a massa específica dos grãos (densidade dos sólidos) usando a amostra B (esta amostra foi seca — ótima para determinar o volume de sólidos por deslocamento de água).
Princípio usado (explicação didática):
  • Coloca-se a amostra seca no picnômetro e completa-se com água; a água preenchida no picnômetro corresponde ao volume livre (volume do picnômetro menos o volume ocupado pelos grãos sólidos).
  • Se conhecemos quanto de água ficou no picnômetro (massa), podemos obter o volume ocupado pelos grãos e, com a massa seca dos grãos, obter a densidade dos grãos.
Cálculos passo a passo (usando amostra B):
  • Massa do picnômetro + solo B + água: 2112\\ \mathrm{g}.
  • Massa de água presente no picnômetro quando B está dentro:
m_{w,B} = 2112 - (m_P + m_{solo,B}) = 2112 - (620 + 980) = 512\\ \mathrm{g}.
  • Volume de água no picnômetro nessa situação: V_{w,B} = 512\\ \mathrm{cm^3}.
  • Volume ocupado pelos grãos (sólidos) é o volume restante:
V_{s} = V_P - V_{w,B} = 875 - 512 = 363\\ \mathrm{cm^3}.
  • Massa dos grãos (amostra B) é m_{s,B}=980\\ \mathrm{g} (seca).
  • Logo a massa específica (densidade) dos grãos é
\rho_s = \frac{m_{s,B}}{V_s} = \frac{980}{363}\\ \mathrm{g/cm^3}.
Vamos calcular numericamente:
\rho_s \approx 2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3}.
Breve interpretação didática: \rho_s é a massa por unidade de volume dos grãos sólidos (sem poros preenchidos por ar/água). Em geotecnia também se usa o “peso específico relativo” G_s que é \rho_s/\rho_w; aqui como \rho_w=1\\ \mathrm{g/cm^3}, numericamente G_s=\rho_s\approx2{,}70.

Passo 4

Resolver a amostra A (totalmente saturada): achar teor de umidade w e índice de vazios e. Vou desenvolver a fórmula geral usada para esses casos e explicar cada termo.
Conceitos usados (explicação didática):
  • Teor de umidade w é a razão entre a massa de água contida na amostra e a massa de sólidos secos:
w=\frac{m_w}{m_s}.
  • Índice de vazios e é a razão entre volume de vazios V_v e volume de sólidos V_s:
e=\frac{V_v}{V_s}.
  • Em amostra saturada, não há ar nos vazios, então V_v=V_w (volume de vazios igual ao volume de água nos vazios). Como V_w = m_w/\rho_w e V_s = m_s/\rho_s, para amostra saturada vale
e = \frac{V_w}{V_s} = \frac{m_w/\rho_w}{m_s/\rho_s} = w\cdot \rho_s \quad(\text{já que }\rho_w=1).á
  • Para obter m_s (massa dos sólidos) de uma amostra molhada A usando o picnômetro, procedemos assim: colocamos a amostra no picnômetro, completamos com água e pesamos; a água livre no picnômetro nos dá o volume total da amostra (sólidos + água interna). Daí calcula-se m_s.
Cálculos para A (passo a passo usando os números):
  1. Determinar a quantidade de água livre no picnômetro com A:
m_{w,\text{livre},A}= \text{(pic+solo+água)}_A - (m_P + m_{\text{solo, A}}) = 2030 - (620 + 1020) = 390\\ \mathrm{g}.á
  1. Volume total ocupado pela amostra A no picnômetro:
V_{\text{amostra},A} = V_P - V_{\text{água livre},A} = 875 - 390 = 485\\ \mathrm{cm^3}.á
  1. Escrever a relação entre volumes e massas da amostra A. Seja m_{s,A} a massa dos sólidos de A (seca) e m_{w,A} a massa de água interna de A. Sabemos que a massa total medida do solo (linha “Solo”) é m_{\text{solo,A}} = 1020\\ \mathrm{g} = m_{s,A} + m_{w,A}. Também sabemos que o volume total da amostra é
V_{\text{amostra},A} = V_{s,A} + V_{w,A} = \frac{m_{s,A}}{\rho_s} + \frac{m_{w,A}}{\rho_w}.
Substituindo m_{w,A}=1020 - m_{s,A} e \rho_w=1:
485 = \frac{m_{s,A}}{\rho_s} + (1020 - m_{s,A}) = 1020 + m_{s,A}\!\left(\frac{1}{\rho_s}-1\right).
  1. Isolar m_{s,A}:
m_{s,A} = \frac{485 - 1020}{\frac{1}{\rho_s}-1}.
Usando \rho_s = \dfrac{980}{363}\approx2{,}6997 (valores do Passo 3), faz-se o cálculo. Numericamente (com arredondamento prático),
m_{s,A}\approx 850\\ \mathrm{g}.
  1. Logo a massa de água interna em A é
m_{w,A} = 1020 - m_{s,A} \approx 1020 - 850 = 170\\ \mathrm{g}.
  1. Teor de umidade da amostra A:
w_A=\frac{m_{w,A}}{m_{s,A}}=\frac{170}{850}=0{,}20 \quad\text{ou}\quad 20\%.
(Expliquei: multiplique por 100 para obter porcentagem.)
7. Índice de vazios da amostra A (amostra saturada, usar e=w\cdot \rho_s):
e_A = w_A\cdot \rho_s \approx 0{,}20 \times 2{,}70 = 0{,}54.
Resumo intercalado (para fixar a ideia): a massa de sólidos m_{s,A} veio da equação de balanço de volumes no picnômetro; com m_{s,A} e a massa total molhada 1020\\ \mathrm{g} encontramos m_{w,A} e daí w. Para amostra saturada o índice de vazios sai diretamente como e=w\rho_s.

Passo 5

Resolver a amostra C (parcialmente saturada): achar teor de umidade w_C, índice de vazios e_C e grau de saturação S_C.
Procedimento (mesmo espírito do Passo 4):
  1. Encontrar massa de água livre no picnômetro com C:
m_{w,\text{livre},C} = 2062 - (620 + 990) = 452\\ \mathrm{g}.
  1. Volume total ocupado pela amostra C:
V_{\text{amostra},C} = V_P - V_{w,\text{livre},C} = 875 - 452 = 423\\ \mathrm{cm^3}.
  1. Usar a mesma equação de balanço para obter m_{s,C}. Com m_{\text{solo,C}} = 990\\ \mathrm{g} = m_{s,C}+m_{w,C}, e
423 = \frac{m_{s,C}}{\rho_s} + (990 - m_{s,C}) = 990 + m_{s,C}\!\left(\frac{1}{\rho_s}-1\right).
Isolando m_{s,C}:
m_{s,C} = \frac{423 - 990}{\frac{1}{\rho_s}-1}.
  1. Substituindo \rho_s\approx2{,}6997 obtemos numericamente
m_{s,C}\approx 900{,}6\\ \mathrm{g}.
  1. Massa de água em C:
m_{w,C} = 990 - m_{s,C} \approx 990 - 900{,}6 = 89{,}4\\ \mathrm{g}.
  1. Teor de umidade da amostra C:
w_C = \frac{m_{w,C}}{m_{s,C}} \approx \frac{89{,}4}{900{,}6} \approx 0{,}0993 \quad\text{ou}\quad 9{,}93\%.
  1. Volume de sólidos e volume de água (em cm³):
V_{s,C}=\frac{m_{s,C}}{\rho_s}\approx \frac{900{,}6}{2{,}6997}\approx 333{,}6\\ \mathrm{cm^3},
V_{w,C}=\frac{m_{w,C}}{\rho_w}=m_{w,C}\approx 89{,}4\\ \mathrm{cm^3}.
  1. Volume total calculado V_{s,C}+V_{w,C}\approx 333{,}6+89{,}4=423{,}0\\ \mathrm{cm^3}, que coincide com V_{\text{amostra},C} (dado do picnômetro). Portanto o volume de ar V_{a,C}=V_{\text{amostra},C}-V_{s,C}-V_{w,C} dá praticamente 0.
  2. Índice de vazios e_C:
e_C=\frac{V_v}{V_s}=\frac{V_{w,C}+V_{a,C}}{V_{s,C}}.
Como aqui V_{a,C}\approx 0, então V_v\approx V_{w,C} e
e_C \approx \frac{89{,}4}{333{,}6}\approx 0{,}268.
(Outra maneira: e=w_C\cdot \rho_s \approx 0{,}0993\times2{,}6997\approx0{,}268.)
10. Grau de saturação S_C (definição didática): é a fração dos vazios ocupada por água,
S_C = \frac{V_{w,C}}{V_v} = \frac{V_{w,C}}{V_{w,C}+V_{a,C}}.
Como V_{a,C}\approx 0, obtemos S_C\approx 1{,}00 ou 100\%.
Comentário importante e franco (empático): o enunciado dizia que a amostra C estava “parcialmente saturada”, mas os dados experimentais fornecidos e as pesagens levam a V_{a,C}\approx0 e, portanto, a S_C\approx100\%. Ou seja, com as medidas dadas a amostra C resulta saturada (ou praticamente saturada). Isso pode indicar que houve arredondamentos nos números ou que a descrição “parcialmente” no enunciado é imprecisa — de qualquer forma devemos confiar nas medidas para calcular as grandezas pedidas, e é isso que fiz acima.

Resposta

(a) \rho_s \approx 2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3}.
(b) w_A = 20\%
e_A = 0{,}54.
(c) w_C \approx 9{,}93\% ; e_C \approx 0{,}268 ; S_C \approx 100\%.

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