Partindo da primeira lei da termodinâmica, mostre que o diferencial d U da energia interna de um gás pode ser escrito de duas formas diferentes: d U=C_{V} d T em um processo isocórico, e d U=C_{P} d T-\left.P d V\right|_{P=\text { cte }}, em um processo isobárico. A partir desse resultado, mostre que para um gás ideal com n=1 moles temos que C_{P}=C_{V}+R.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara, sem resolver ainda):
Dado: a Primeira Lei da Termodinâmica na forma diferencial: dU=\delta Q-\delta W.
Pressuposto comum: o trabalho mecânico considerado é o trabalho de pressão-volume reversível, isto é \delta W=P\,dV.
Pedidos:
Mostrar que, em um processo isocórico (volume constante), o diferencial da energia interna pode ser escrito como dU=C_{V}\,dT.
Mostrar que, em um processo isobárico (pressão constante), pode ser escrito como dU=C_{P}\,dT-\left.P\,dV\right|_{P=\text{cte}}.
A partir desses resultados, para um gás ideal com n=1 mol, mostrar que C_{P}=C_{V}+R.
Passo 2
Entender símbolos e definições importantes (mini-aula):
dU é o diferencial exato da energia interna U (variação infinitesimal de U).
\delta Q e \delta W são diferenciais de calor e trabalho; usa-se \delta porque calor e trabalho não são funções de estado (não têm diferencial exato).
P é a pressão, V o volume, T a temperatura, R a constante universal dos gases, e n o número de mols.
Capacidades térmicas (definições):
C_{V} é a capacidade térmica a volume constante: por definição, C_{V}=\left(\dfrac{\delta Q}{dT}\right)_{V}. Significa a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura em uma unidade mantendo V fixo.
C_{P} é a capacidade térmica a pressão constante: C_{P}=\left(\dfrac{\delta Q}{dT}\right)_{P}.
Para processo reversível com apenas trabalho PV vale \delta W=P\,dV. Vou usar isso nas contas.
Passo 3
Derivação para processo isocórico (volume constante): passo a passo.
Em isocórico temos dV=0.
A Primeira Lei dá:
dU=\delta Q-\delta W=\delta Q-P\,dV.
Como dV=0,
dU=\delta Q.
Pela definição de C_{V} (capacidade a volume constante),
C_{V}=\left(\dfrac{\delta Q}{dT}\right)_{V}.
Substituindo \delta Q=dU obtemos, escrevendo a relação diferencial,
dU=C_{V}\,dT.
Comentário didático: isto significa que, em um processo a volume fixo, toda a energia fornecida como calor vai para alterar a energia interna; por isso a variação de U é diretamente C_{V}\,dT.
Passo 4
Derivação para processo isobárico (pressão constante): passo a passo.
Em isobárico temos P= constante, logo dP=0.
A Primeira Lei, novamente:
dU=\delta Q-\delta W=\delta Q-P\,dV.
Pela definição de C_{P},
C_{P}=\left(\dfrac{\delta Q}{dT}\right)_{P},
ou seja, em um processo infinitesimal a pressão constante \delta Q=C_{P}\,dT.
Substituindo isso em dU=\delta Q-P\,dV obtemos, impondo P= cte,
dU=C_{P}\,dT-P\,dV\Big|_{P=\text{cte}}.
Observação: esta é exatamente a forma pedida para o caso isobárico. Note que \left.P\,dV\right|_{P=\text{cte}} indica usar a relação entre dV e dT que vale quando P é constante (próximo passo).
Passo 5
Relacionar P\,dV com dT para um gás ideal (caso n=1 mol): preparar a substituição.
Lei dos gases ideais (uma mola para uma única mol): P\,V=R\,T (pois n=1).
Diferenciando essa relação total (produto) temos:
d(PV)=d(RT).
Como R é constante e, no processo isobárico, P é constante (dP=0), o lado esquerdo dá:
d(PV)=P\,dV+V\,dP = P\,dV + V\cdot 0 = P\,dV.
O lado direito é
d(RT)=R\,dT.
Portanto, para P= constante vale
P\,dV=R\,dT.
Comentário didático: essa igualdade nos diz quanto o volume varia quando a temperatura varia sob pressão fixa, para um gás ideal de 1 mol.
Passo 6
Usar a relação P\,dV=R\,dT dentro da expressão de dU em isobárico e comparar com a forma isocórica.
A expressão do Passo 4 foi
dU=C_{P}\,dT-P\,dV\Big|_{P=\text{cte}}.
Substituindo P\,dV=R\,dT (obtido no Passo 5),
dU=C_{P}\,dT-R\,dT=(C_{P}-R)\,dT.
Por outro lado, para um gás ideal (propriedade física importante): a energia interna U depende apenas da temperatura T, não do volume ou da pressão. Logo, para qualquer variação de temperatura (qualquer processo) a variação de U pode ser escrita como
dU=C_{V}\,dT,
como vimos no Passo 3 (esta é uma propriedade que vale para gases ideais: U=U(T)).
Igualando as duas expressões para dU (pois descrevem a mesma variação de energia interna),
C_{V}\,dT=(C_{P}-R)\,dT.
Cancelando o fator comum dT (válido para variações infinitesimais não nulas de temperatura),
C_{V}=C_{P}-R.
Passo 7
Concluir a relação pedida e escrever de forma final.
Reorganizando a última igualdade, obtemos
C_{P}=C_{V}+R,
para n=1 mol de um gás ideal.
Interpretação física rápida e motivadora: C_{P} é maior que C_{V} porque, quando aquecemos à pressão constante, parte do calor vai para realizar trabalho de expansão P\,dV; portanto é preciso fornecer calor extra (quantidade R\,dT por mol por aumento dT) além do que aumentaria apenas a energia interna.
Resposta
dU=C_{V}\,dT (processo isocórico). dU=C_{P}\,dT-\left.P\,dV\right|_{P=\text{cte}} (processo isobárico).
Para um gás ideal com n=1 mol: C_{P}=C_{V}+R.