(Pêndulo Simples com Obstáculo) Um pêndulo simples ideal de comprimento L é abandonado do repouso a partir de um pequeno ângulo inicial. Exatamente na vertical abaixo do ponto de suspensão, a uma distância L / 2, existe um prego fixo. Quando o fio atinge a vertical, ele encosta no prego, e a massa continua a sua trajetória oscilando com um novo raio de curvatura. Qual é a expressão algébrica para o período total ( T ) de uma oscilação completa deste sistema?
a) T=\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
b) T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
c) T=\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
d) T=\pi \sqrt{\frac{L}{g}}(1+\sqrt{2})
e) T=\frac{3 \pi}{2} \sqrt{\frac{L}{g}}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Um pêndulo simples ideal de comprimento L é abandonado do repouso a partir de um pequeno ângulo inicial \theta_0.
  • Há um prego fixo exatamente na vertical, a uma distância L/2 abaixo do ponto de suspensão; quando o fio atinge a vertical ele encosta no prego e passa a girar em torno desse prego.
  • Depois de encostar no prego, o raio de curvatura passa a ser \ell' = L/2.
    O enunciado pergunta: qual a expressão algébrica para o período total T de uma oscilação completa deste sistema? (Fornecem alternativas; temos que encontrar a expressão correta.)

Passo 2

Plano de ataque (de forma clara e simples):
  • Para pequenos ângulos a equação do pêndulo pode ser aproximada por um MHS (movimento harmónico simples). A fórmula do período de pequenas oscilações de um pêndulo de comprimento \ell é
T(\ell)=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}},
onde g é a aceleração da gravidade. Aqui \ell é o comprimento do pêndulo (distância do pivô até a massa).
  • A oscilação inteira pode ser decomposta em trechos em que o corpo oscila como pêndulo de comprimento L (antes de tocar o prego) e como pêndulo de comprimento L/2 (quando está girando em torno do prego). Vou calcular os tempos de cada trecho e somá-los para obter o período total.
  • Observação física importante (por que isso é válido): para pequeno ângulo a amplitude não altera significativamente o período, então podemos usar frações de T(\ell) (como T/4, T/2) para os tempos entre máximos e equilíbrios. Vou explicar e justificar isso melhor depois.

Passo 3

Períodos dos pêndulos envolvidos:
  • Período do pêndulo original (comprimento L):
T_L = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  • Período do pêndulo quando o pivô é o prego (comprimento \ell' = L/2):
T_{L/2} = 2\pi\sqrt{\frac{L/2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}}.
Explicação rápida de por que usamos T/4 e T/2: num MHS, o tempo para ir do ponto de máxima amplitude até a posição de equilíbrio é exatamente um quarto do período. O tempo para ir do equilíbrio até a amplitude oposta é outro quarto; o tempo para ir da amplitude até volta ao equilíbrio é um quarto, etc. Isso é padrão de MHS e vale para pequenos \theta_0.

Passo 4

Quebra da trajetória em segmentos temporais (começando numa amplitude à esquerda):
  1. Da amplitude inicial (à esquerda) até a vertical (equilíbrio do pêndulo longo): tempo = T_L/4.
  2. Ao alcançar a vertical o fio encosta no prego e o pivô muda para o prego. A partir daí a massa descreve um arco com raio L/2. Ela vai do ponto inferior (vertical) até a amplitude do lado direito e volta ao inferior: isso é meia oscilação do pêndulo de comprimento L/2, ou seja tempo = T_{L/2}/2.
  3. Depois de retornar ao inferior, o movimento volta a usar o pivô original e o corpo sobe até a amplitude inicial à esquerda: tempo = T_L/4.
Somando:
T = \frac{T_L}{4} + \frac{T_{L/2}}{2} + \frac{T_L}{4} = \frac{T_L}{2} + \frac{T_{L/2}}{2}.
Substituindo T_L e T_{L/2}:
T = \frac{1}{2}\left(2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\right) + \frac{1}{2}\left(2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}}\right).
Fatorando \pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}:
T = \pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Escrevendo \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} obtém-se:
T = \pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 5

Justificativa da aproximação de pequeno ângulo (por que é legítimo usar os quartos/meios de período):
  • Energia mecânica entre posição inicial (ângulo \theta_0) e vertical dá a velocidade no fundo; ao tocar o prego não há perda de energia tangencial instantânea, então a energia disponível para a oscilação em torno do prego determina a amplitude nessa nova oscilação.
  • Conservação de energia entre a amplitude inicial e a amplitude máxima em torno do prego dá (exatamente):
L(1-\cos\theta_0)=\frac{L}{2}\bigl(1-\cos\varphi_{\max}\bigr),
onde \varphi_{\max} é a amplitude em torno do prego. Daqui vem
1-\cos\varphi_{\max}=2(1-\cos\theta_0) \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi_{\max}=2\cos\theta_0-1.
Para pequenos \theta_0 usamos \cos\theta_0\approx 1-\tfrac{\theta_0^2}{2}. Então
1-\cos\theta_0\approx \tfrac{\theta_0^2}{2}\quad\Rightarrow\quad 1-\cos\varphi_{\max}\approx 2\cdot \tfrac{\theta_0^2}{2}=\theta_0^2.
Logo \varphi_{\max}^2/2\approx \theta_0^2, isto é \varphi_{\max}\approx\sqrt{2}\,\theta_0. Assim, se \theta_0 é pequeno então \varphi_{\max} também é pequeno e a aproximação de pequenas oscilações (MHS) em ambos os trechos é válida. Por isso usar frações de T_L e T_{L/2} é correto para o caso dado.

Resposta

T=\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}\left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)

Exercícios relacionados