(Pêndulo Simples com Obstáculo) Um pêndulo simples ideal de comprimento
é abandonado do repouso a partir de um pequeno ângulo inicial. Exatamente na vertical abaixo do ponto de suspensão, a uma distância
, existe um prego fixo. Quando o fio atinge a vertical, ele encosta no prego, e a massa continua a sua trajetória oscilando com um novo raio de curvatura. Qual é a expressão algébrica para o período total (
) de uma oscilação completa deste sistema?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Um pêndulo simples ideal de comprimento
é abandonado do repouso a partir de um pequeno ângulo inicial . - Há um prego fixo exatamente na vertical, a uma distância
abaixo do ponto de suspensão; quando o fio atinge a vertical ele encosta no prego e passa a girar em torno desse prego. - Depois de encostar no prego, o raio de curvatura passa a ser
.
O enunciado pergunta: qual a expressão algébrica para o período totalde uma oscilação completa deste sistema? (Fornecem alternativas; temos que encontrar a expressão correta.)
Passo 2
Plano de ataque (de forma clara e simples):
- Para pequenos ângulos a equação do pêndulo pode ser aproximada por um MHS (movimento harmónico simples). A fórmula do período de pequenas oscilações de um pêndulo de comprimento
é
onde
é a aceleração da gravidade. Aqui
é o comprimento do pêndulo (distância do pivô até a massa).
- A oscilação inteira pode ser decomposta em trechos em que o corpo oscila como pêndulo de comprimento
(antes de tocar o prego) e como pêndulo de comprimento (quando está girando em torno do prego). Vou calcular os tempos de cada trecho e somá-los para obter o período total. - Observação física importante (por que isso é válido): para pequeno ângulo a amplitude não altera significativamente o período, então podemos usar frações de
(como , ) para os tempos entre máximos e equilíbrios. Vou explicar e justificar isso melhor depois.
Passo 3
Períodos dos pêndulos envolvidos:
- Período do pêndulo original (comprimento
):
- Período do pêndulo quando o pivô é o prego (comprimento
):
Explicação rápida de por que usamos
e
: num MHS, o tempo para ir do ponto de máxima amplitude até a posição de equilíbrio é exatamente um quarto do período. O tempo para ir do equilíbrio até a amplitude oposta é outro quarto; o tempo para ir da amplitude até volta ao equilíbrio é um quarto, etc. Isso é padrão de MHS e vale para pequenos
.
Passo 4
Quebra da trajetória em segmentos temporais (começando numa amplitude à esquerda):
- Da amplitude inicial (à esquerda) até a vertical (equilíbrio do pêndulo longo): tempo
. - Ao alcançar a vertical o fio encosta no prego e o pivô muda para o prego. A partir daí a massa descreve um arco com raio
. Ela vai do ponto inferior (vertical) até a amplitude do lado direito e volta ao inferior: isso é meia oscilação do pêndulo de comprimento , ou seja tempo . - Depois de retornar ao inferior, o movimento volta a usar o pivô original e o corpo sobe até a amplitude inicial à esquerda: tempo
.
Somando:
Substituindo
e
:
Fatorando
:
Escrevendo
obtém-se:
Passo 5
Justificativa da aproximação de pequeno ângulo (por que é legítimo usar os quartos/meios de período):
- Energia mecânica entre posição inicial (ângulo
) e vertical dá a velocidade no fundo; ao tocar o prego não há perda de energia tangencial instantânea, então a energia disponível para a oscilação em torno do prego determina a amplitude nessa nova oscilação. - Conservação de energia entre a amplitude inicial e a amplitude máxima em torno do prego dá (exatamente):
onde
é a amplitude em torno do prego. Daqui vem
Para pequenos
usamos
. Então
Logo
, isto é
. Assim, se
é pequeno então
também é pequeno e a aproximação de pequenas oscilações (MHS) em ambos os trechos é válida. Por isso usar frações de
e
é correto para o caso dado.