Partindo da série de potências de e^{x}, encontre a série de potências de e^{x^{4}} e, usando o critério da razão, calcule seu reio de converência.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) a série de potências de e^{x^{4}} partindo da série de potências de e^{x}; (2) usando o critério da razão, calcular o raio de convergência dessa série.
Informações dadas pelo enunciado: a série de potências de e^{x} (a partir da expansão conhecida em série de Taylor/Maclaurin) serve como ponto de partida.

Passo 2

Vamos recordar a série de potências conhecida para e^{x}. Esta é uma série de Taylor centrada em 0 (Maclaurin) e vale para todos os x. A fórmula é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Expliquei cada símbolo: \sum_{n=0}^{\infty} significa somar os termos para n=0,1,2,\dots; n! (fatorial de n) significa n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n com 0!=1; e o termo genérico é \frac{x^{n}}{n!}. Como exemplo concreto, os primeiros termos são
e^{x}=1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots.

Passo 3

Para obter a série de e^{x^{4}} basta substituir x por x^{4} na série de e^{x}. Substituição direta em uma série de potências é válida aqui porque a expansão de e^{x} é formalmente válida para todos os argumentos. Assim obtemos
e^{x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(x^{4}\right)^{n}}{n!}.
Simplificando a potência \left(x^{4}\right)^{n}=x^{4n}, ficamos com
e^{x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}.
Escrevendo os primeiros termos para fixar a ideia:
e^{x^{4}}=1 + x^{4} + \frac{x^{8}}{2!} + \frac{x^{12}}{3!} + \cdots.
Observação útil para a prova: essa série tem coeficientes nulos para potências cuja expoente não é múltiplo de 4. Ou seja, como série \sum_{k=0}^\infty a_k x^k, temos a_{4n}=\frac{1}{n!} e a_k=0 se k não for múltiplo de 4.

Passo 4

Agora vamos revisar o critério da razão (Ratios Test) que o enunciado pede para usar. Para uma série de termos u_n (assumindo u_n\neq 0 para n grandes), define-se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|.
As conclusões do critério são:
  • Se L<1, a série \sum u_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    O raio de convergência R de uma série de potências pode ser obtido relacionando a condição |x|<R com o valor de L quando o termo u_n envolve x. Normalmente aplica-se o teste à expressão do termo geral que contém x.

Passo 5

Aplique o critério da razão ao termo geral da nossa série. Tomamos o termo
u_{n}=\frac{x^{4n}}{n!}.
Calcule a razão em valor absoluto:
\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| = \left|\frac{x^{4(n+1)}/(n+1)!}{x^{4n}/n!}\right| = \left|\frac{x^{4}}{n+1}\right|.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{4}}{n+1}=0,
porque |x|^{4} é fixo e o denominador n+1 tende a infinito. Portanto o limite L é 0.

Passo 6

Interpretando o resultado pelo critério da razão: dado que L=0<1 para todo valor de x real (na verdade para todo x\in\mathbb{C}), concluímos que a série converge absolutamente para todo x. Isso significa que o raio de convergência é infinito. Em termos práticos: a série de potências de e^{x^{4}} converge para todos os x\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}).

Resposta

\displaystyle e^{x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}=1 + x^{4} + \frac{x^{8}}{2!} + \frac{x^{12}}{3!}+\cdots
Raio de convergência: R=\infty

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