Partindo da série de potências de e^{x}, encontre a série de potências de e^{x^{4}} e, usando o critério da razão, calcule seu reio de converência.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) a série de potências de e^{x^{4}} partindo da série de potências de e^{x}; (2) usando o critério da razão, calcular o raio de convergência dessa série.
Informações dadas pelo enunciado: a série de potências de e^{x} (a partir da expansão conhecida em série de Taylor/Maclaurin) serve como ponto de partida.
Passo 2
Vamos recordar a série de potências conhecida para e^{x}. Esta é uma série de Taylor centrada em 0 (Maclaurin) e vale para todos os x. A fórmula é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Expliquei cada símbolo: \sum_{n=0}^{\infty} significa somar os termos para n=0,1,2,\dots; n! (fatorial de n) significa n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n com 0!=1; e o termo genérico é \frac{x^{n}}{n!}. Como exemplo concreto, os primeiros termos são
Para obter a série de e^{x^{4}} basta substituir x por x^{4} na série de e^{x}. Substituição direta em uma série de potências é válida aqui porque a expansão de e^{x} é formalmente válida para todos os argumentos. Assim obtemos
Observação útil para a prova: essa série tem coeficientes nulos para potências cuja expoente não é múltiplo de 4. Ou seja, como série \sum_{k=0}^\infty a_k x^k, temos a_{4n}=\frac{1}{n!} e a_k=0 se k não for múltiplo de 4.
Passo 4
Agora vamos revisar o critério da razão (Ratios Test) que o enunciado pede para usar. Para uma série de termos u_n (assumindo u_n\neq 0 para n grandes), define-se
Se L=1, o teste é inconclusivo.
O raio de convergência R de uma série de potências pode ser obtido relacionando a condição |x|<R com o valor de L quando o termo u_n envolve x. Normalmente aplica-se o teste à expressão do termo geral que contém x.
Passo 5
Aplique o critério da razão ao termo geral da nossa série. Tomamos o termo
porque |x|^{4} é fixo e o denominador n+1 tende a infinito. Portanto o limite L é 0.
Passo 6
Interpretando o resultado pelo critério da razão: dado que L=0<1 para todo valor de x real (na verdade para todo x\in\mathbb{C}), concluímos que a série converge absolutamente para todo x. Isso significa que o raio de convergência é infinito. Em termos práticos: a série de potências de e^{x^{4}} converge para todos os x\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}).
Resposta
\displaystyle e^{x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}=1 + x^{4} + \frac{x^{8}}{2!} + \frac{x^{12}}{3!}+\cdots
Raio de convergência: R=\infty