e, mais especificamente, calcular a soma das quatro primeiras parcelas da série que representa essa integral.
Informações dadas: a expressão integranda \dfrac{e^{x^{4}}-1}{x^{4}} e o intervalo de integração [0,1]. Não há outras informações visuais ou tabelas.
Passo 2
Primeiro vamos obter uma série para a função que aparece no integrando. Lembra da série de Taylor (Maclaurin) para a exponencial? A fórmula é:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!},
onde u é uma variável qualquer (a série converge para todo u). Aqui vamos tomar u=x^{4}. Substituindo, obtemos
e^{x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}.
Agora subtraímos 1 (o termo de n=0) e dividimos por x^{4}. Isso dá
Podemos integrar essa série termo a termo no intervalo [0,1]. Vou justificar rapidinho por que isso é permitido: para x\in[0,1] temos 0\le x^{4k}\le 1, então
e a série \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)!} converge (é a série exponencial). Pelo teste da comparação (Weierstrass M-test) a série converge uniformemente em [0,1], o que permite integrar termo a termo. Portanto