Use a série obtida no Exercício 68 para estimar o valor da integral
\int_{0}^{1} \frac{e^{x^{4}}-1}{x^{4}} \mathrm{~d} x
Compute a soma das quatro primeiras parcelas.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o valor da integral
\int_{0}^{1} \frac{e^{x^{4}}-1}{x^{4}}\,\mathrm{d}x
e, mais especificamente, calcular a soma das quatro primeiras parcelas da série que representa essa integral.
Informações dadas: a expressão integranda \dfrac{e^{x^{4}}-1}{x^{4}} e o intervalo de integração [0,1]. Não há outras informações visuais ou tabelas.

Passo 2

Primeiro vamos obter uma série para a função que aparece no integrando. Lembra da série de Taylor (Maclaurin) para a exponencial? A fórmula é:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!},
onde u é uma variável qualquer (a série converge para todo u). Aqui vamos tomar u=x^{4}. Substituindo, obtemos
e^{x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!}.
Agora subtraímos 1 (o termo de n=0) e dividimos por x^{4}. Isso dá
\frac{e^{x^{4}}-1}{x^{4}} =\frac{1}{x^{4}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{4n}}{n!} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{4n-4}}{n!}.
Para ficar mais limpo, fazemos a mudança de índice k=n-1. Então n=k+1 e n=1,2,\dots vira k=0,1,2,\dots. Assim
\frac{e^{x^{4}}-1}{x^{4}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(k+1)!}.

Passo 3

Podemos integrar essa série termo a termo no intervalo [0,1]. Vou justificar rapidinho por que isso é permitido: para x\in[0,1] temos 0\le x^{4k}\le 1, então
\left|\frac{x^{4k}}{(k+1)!}\right|\le \frac{1}{(k+1)!},
e a série \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)!} converge (é a série exponencial). Pelo teste da comparação (Weierstrass M-test) a série converge uniformemente em [0,1], o que permite integrar termo a termo. Portanto
\int_{0}^{1}\frac{e^{x^{4}}-1}{x^{4}}\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(k+1)!}\,\mathrm{d}x =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)!}\int_{0}^{1}x^{4k}\,\mathrm{d}x.
Calcule a integral de um termo típico:
\int_{0}^{1}x^{4k}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^{4k+1}}{4k+1}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4k+1}.
Logo a série para a integral é
\int_{0}^{1}\frac{e^{x^{4}}-1}{x^{4}}\,\mathrm{d}x =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)!\,(4k+1)}.

Passo 4

Agora pediram a soma das quatro primeiras parcelas dessa série, isto é os termos com k=0,1,2,3. Vamos calcular cada um cuidadosamente.
Para k=0:
\text{termo}_0=\frac{1}{(0+1)!\,(4\cdot 0+1)}=\frac{1}{1!\cdot 1}=\;1.
Para k=1:
\text{termo}_1=\frac{1}{(1+1)!\,(4\cdot 1+1)}=\frac{1}{2!\cdot 5}=\frac{1}{10}=0,1.
Para k=2:
\text{termo}_2=\frac{1}{(2+1)!\,(4\cdot 2+1)}=\frac{1}{3!\cdot 9}=\frac{1}{6\cdot 9}=\frac{1}{54}\approx 0,0185185185.
Para k=3:
\text{termo}_3=\frac{1}{(3+1)!\,(4\cdot 3+1)}=\frac{1}{4!\cdot 13}=\frac{1}{24\cdot 13}=\frac{1}{312}\approx 0,0032051282.
Somando as quatro parcelas:
1+\frac{1}{10}+\frac{1}{54}+\frac{1}{312}.
Vamos obter a fração exata e a aproximação decimal. Um denominador comum conveniente é 14040 (mínimo múltiplo comum de 1,10,54,312). Convertendo:
1=\frac{14040}{14040},\quad \frac{1}{10}=\frac{1404}{14040},\quad \frac{1}{54}=\frac{260}{14040},\quad \frac{1}{312}=\frac{45}{14040}.
Somando os numeradores:
14040+1404+260+45=15749.
Portanto a soma exata é
\frac{15749}{14040}\approx 1,1217236467.

Resposta

\dfrac{15749}{14040}\approx 1,1217236467

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