Considere a função dada pela série
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(k x)}{k^{5}}
Verifique que essa série é SM (série majorada), bem como as séries de derivadas termo a termo até terceira ordem. Conclua que f(x) pode ser derivada três vezes e compute essas derivadas em termos de séries.

Passo 1

O enunciado dá a função definida pela série
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(k x)}{k^{5}}
e pede para:
  1. Verificar que essa série é SM (série majorada) — isto é, provar convergência uniforme por comparação com uma série numérica convergente — e fazer o mesmo para as séries obtidas ao derivar termo a termo até a terceira ordem.
  2. Concluir que f(x) pode ser derivada três vezes e calcular f'(x),f''(x),f^{(3)}(x) em termos de séries.
As informações relevantes dadas são: os termos gerais \frac{\operatorname{sen}(k x)}{k^{5}} e a necessidade de tratar derivadas termo a termo até terceira ordem.

Passo 2

Lembrete útil (ferramenta que vamos usar): critério de Weierstrass (teste de comparação uniforme / M-test).
Explicação didática do teste de Weierstrass:
\text{Se existir uma sequência de números positivos }(M_k)_{k\ge1}\text{ tal que, para todo }x, \;|u_k(x)|\le M_kêú
e a série numérica \sum_{k=1}^\infty M_k converge, então a série de funções \sum_{k=1}^\infty u_k(x) converge absolutamente e uniformemente (ou seja, é SM). Aqui u_k(x) são os termos da série de funções. A ideia é simples: cada termo é dominado por um termo numérico cuja soma é finita; isso força a soma das funções a ser uniformemente convergente.
Vamos aplicar esse teste às nossas séries. Também precisaremos do fato elementar que, para todo real t,
\big|\operatorname{sen}(t)\big|\le 1,\qquad \big|\cos(t)\big|\le 1.
Isto nos dará estimativas simples dos módulos dos termos.

Passo 3

Aplicação ao termo original (ordem zero): mostrar que \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\operatorname{sen}(k x)}{k^{5}} é SM.
Para cada k e todo x,
\left|\frac{\operatorname{sen}(k x)}{k^{5}}\right|\le \frac{1}{k^{5}}.
Tomamos M_k=\dfrac{1}{k^{5}}. A série numérica \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{5}} é uma série p-série com p=5>1, portanto converge. Pelo teste de Weierstrass, a série de funções converge absolutamente e uniformemente (é SM) em todo \mathbb{R}. Conclusão: f(x) está bem definida e a soma é uma função contínua (soma de série uniformemente convergente de funções contínuas).
Comentário extra de didática: uma p-série \sum 1/k^p converge se, e somente se, p>1. Aqui usamos esse fato clássico várias vezes abaixo.

Passo 4

Calcular a derivada termo a termo (formalmente) e estimar para justificar uniformidade da série das derivadas de primeira ordem.
Termo geral a_k(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(k x)}{k^{5}}. Derivando em x (regra da cadeia; \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(kx)=k\cos(kx)), obtemos
a_k'(x)=\frac{k\cos(kx)}{k^{5}}=\frac{\cos(kx)}{k^{4}}.
Agora estimamos o módulo:
\left|a_k'(x)\right|=\left|\frac{\cos(kx)}{k^{4}}\right|\le \frac{1}{k^{4}}.
Tomamos M_k^{(1)}=\dfrac{1}{k^{4}}. A série \sum_{k=1}^\infty M_k^{(1)}=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{4}} é uma p-série com p=4>1, logo converge. Pelo teste de Weierstrass, a série \sum_{k=1}^\infty a_k'(x)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{\cos(kx)}{k^{4}} converge uniformemente e absolutamente em \mathbb{R}.
Didática sobre por que isso permite derivar: existe um teorema (uma forma prática) que diz: se a série \sum a_k(x) converge em um ponto e a série \sum a_k'(x) converge uniformemente em um intervalo, então \sum a_k(x) converge uniformemente nesse intervalo e a soma é diferenciável com derivada igual a \sum a_k'(x). Como já mostramos convergência uniforme da série original, e agora da série de derivadas, podemos afirmar que podemos derivar termo a termo para obter f'(x)=\sum a_k'(x).

Passo 5

Concluir e escrever f'(x).
Pelo exposto,
f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^{4}},
e a série converge uniformemente (SM). Um comentário encorajador: é exatamente a mesma ideia usada em provas de diferencial term a term: controlar módulo por uma série numérica convergente.

Passo 6

Repetir o procedimento para a segunda derivada (derivar termo a termo novamente).
Pegamos a_k'(x)=\dfrac{\cos(kx)}{k^{4}}. Derivando:
a_k''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos(kx)}{k^{4}}\right)=-\frac{k\operatorname{sen}(kx)}{k^{4}}=-\frac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{3}}.
Estimativa de módulo:
\left|a_k''(x)\right|=\left|\frac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{3}}\right|\le \frac{1}{k^{3}}.
Tomamos M_k^{(2)}=\dfrac{1}{k^{3}}. A série \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{3}} é uma p-série com p=3>1, logo converge. Pelo teste de Weierstrass, \sum a_k''(x)= -\sum \dfrac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{3}} converge uniformemente e absolutamente em \mathbb{R}.
Pelo mesmo teorema sobre diferenciação termo a termo (agora aplicado a f'(x) e à série de suas derivadas), podemos derivar mais uma vez e escrever f''(x) como a soma dessa série.

Passo 7

Concluir e escrever f''(x).
Logo,
f''(x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{3}},
com convergência uniforme da série que define f''.

Passo 8

Fazer o terceiro passo de derivação termo a termo (terceira derivada).
Partimos de a_k''(x)=-\dfrac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{3}}. Derivando:
a_k^{(3)}(x)=-\frac{d}{dx}\left(\frac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{3}}\right)=-\frac{k\cos(kx)}{k^{3}}=-\frac{\cos(kx)}{k^{2}}.
Estimando o módulo:
\left|a_k^{(3)}(x)\right|=\left|\frac{\cos(kx)}{k^{2}}\right|\le \frac{1}{k^{2}}.
Tomamos M_k^{(3)}=\dfrac{1}{k^{2}}. A série \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{2}} é uma p-série com p=2>1, portanto converge. Pelo teste de Weierstrass, a série \sum a_k^{(3)}(x)=-\sum \dfrac{\cos(kx)}{k^{2}} converge uniformemente e absolutamente em \mathbb{R}.
Assim podemos derivar termo a termo pela terceira vez e obter f^{(3)}(x) como essa soma.

Passo 9

Resumo das conclusões e observação sobre ordens superiores.
  • Para n=0,1,2,3 temos estimativas
\left|a_k^{(n)}(x)\right|\le \frac{1}{k^{5-n}}.
Como para n\le 3 o expoente 5-n satisfaz 5-n>1, as séries numéricas \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{5-n}} convergem e, pelo teste de Weierstrass, as séries das derivadas até a terceira ordem são uniformemente convergentes (SM). Portanto f é três vezes derivável e cada derivada é dada pela soma da série correspondente.
  • Nota pedagógica: se tentássemos a quarta derivada, obteríamos termos com módulo dominados por 1/k, e \sum 1/k diverge; assim não podemos garantir convergência uniforme da série de quarta derivadas nem a existência de derivada quarta por este método.

Resposta

f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^{4}}
f''(x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{3}}
f^{(3)}(x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^{2}}

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