Verifique que essa série é SM (série majorada), bem como as séries de derivadas termo a termo até terceira ordem. Conclua que f(x) pode ser derivada três vezes e compute essas derivadas em termos de séries.
Verificar que essa série é SM (série majorada) — isto é, provar convergência uniforme por comparação com uma série numérica convergente — e fazer o mesmo para as séries obtidas ao derivar termo a termo até a terceira ordem.
Concluir que f(x) pode ser derivada três vezes e calcular f'(x),f''(x),f^{(3)}(x) em termos de séries.
As informações relevantes dadas são: os termos gerais \frac{\operatorname{sen}(k x)}{k^{5}} e a necessidade de tratar derivadas termo a termo até terceira ordem.
Passo 2
Lembrete útil (ferramenta que vamos usar): critério de Weierstrass (teste de comparação uniforme / M-test).
Explicação didática do teste de Weierstrass:
\text{Se existir uma sequência de números positivos }(M_k)_{k\ge1}\text{ tal que, para todo }x, \;|u_k(x)|\le M_k
e a série numérica \sum_{k=1}^\infty M_k converge, então a série de funções \sum_{k=1}^\infty u_k(x) converge absolutamente e uniformemente (ou seja, é SM). Aqui u_k(x) são os termos da série de funções. A ideia é simples: cada termo é dominado por um termo numérico cuja soma é finita; isso força a soma das funções a ser uniformemente convergente.
Vamos aplicar esse teste às nossas séries. Também precisaremos do fato elementar que, para todo real t,
Tomamos M_k=\dfrac{1}{k^{5}}. A série numérica \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{5}} é uma série p-série com p=5>1, portanto converge. Pelo teste de Weierstrass, a série de funções converge absolutamente e uniformemente (é SM) em todo \mathbb{R}. Conclusão: f(x) está bem definida e a soma é uma função contínua (soma de série uniformemente convergente de funções contínuas).
Comentário extra de didática: uma p-série \sum 1/k^p converge se, e somente se, p>1. Aqui usamos esse fato clássico várias vezes abaixo.
Passo 4
Calcular a derivada termo a termo (formalmente) e estimar para justificar uniformidade da série das derivadas de primeira ordem.
Termo geral a_k(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(k x)}{k^{5}}. Derivando em x (regra da cadeia; \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(kx)=k\cos(kx)), obtemos
Tomamos M_k^{(1)}=\dfrac{1}{k^{4}}. A série \sum_{k=1}^\infty M_k^{(1)}=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{4}} é uma p-série com p=4>1, logo converge. Pelo teste de Weierstrass, a série \sum_{k=1}^\infty a_k'(x)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{\cos(kx)}{k^{4}} converge uniformemente e absolutamente em \mathbb{R}.
Didática sobre por que isso permite derivar: existe um teorema (uma forma prática) que diz: se a série \sum a_k(x) converge em um ponto e a série \sum a_k'(x) converge uniformemente em um intervalo, então \sum a_k(x) converge uniformemente nesse intervalo e a soma é diferenciável com derivada igual a \sum a_k'(x). Como já mostramos convergência uniforme da série original, e agora da série de derivadas, podemos afirmar que podemos derivar termo a termo para obter f'(x)=\sum a_k'(x).
Passo 5
Concluir e escrever f'(x).
Pelo exposto,
f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^{4}},
e a série converge uniformemente (SM). Um comentário encorajador: é exatamente a mesma ideia usada em provas de diferencial term a term: controlar módulo por uma série numérica convergente.
Passo 6
Repetir o procedimento para a segunda derivada (derivar termo a termo novamente).
Tomamos M_k^{(2)}=\dfrac{1}{k^{3}}. A série \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{3}} é uma p-série com p=3>1, logo converge. Pelo teste de Weierstrass, \sum a_k''(x)= -\sum \dfrac{\operatorname{sen}(kx)}{k^{3}} converge uniformemente e absolutamente em \mathbb{R}.
Pelo mesmo teorema sobre diferenciação termo a termo (agora aplicado a f'(x) e à série de suas derivadas), podemos derivar mais uma vez e escrever f''(x) como a soma dessa série.
Tomamos M_k^{(3)}=\dfrac{1}{k^{2}}. A série \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{2}} é uma p-série com p=2>1, portanto converge. Pelo teste de Weierstrass, a série \sum a_k^{(3)}(x)=-\sum \dfrac{\cos(kx)}{k^{2}} converge uniformemente e absolutamente em \mathbb{R}.
Assim podemos derivar termo a termo pela terceira vez e obter f^{(3)}(x) como essa soma.
Passo 9
Resumo das conclusões e observação sobre ordens superiores.
Para n=0,1,2,3 temos estimativas
\left|a_k^{(n)}(x)\right|\le \frac{1}{k^{5-n}}.
Como para n\le 3 o expoente 5-n satisfaz 5-n>1, as séries numéricas \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{5-n}} convergem e, pelo teste de Weierstrass, as séries das derivadas até a terceira ordem são uniformemente convergentes (SM). Portanto f é três vezes derivável e cada derivada é dada pela soma da série correspondente.
Nota pedagógica: se tentássemos a quarta derivada, obteríamos termos com módulo dominados por 1/k, e \sum 1/k diverge; assim não podemos garantir convergência uniforme da série de quarta derivadas nem a existência de derivada quarta por este método.