- Partindo da
Lei da Termodinâmica, obtenha a Equação de Bernoulli. Destaque todas as hipóteses simplificadoras e explicite os desenvolvimentos - no maior detalhamento possível.
Dica: pesquise na internet as definições de cada termo e considere as hipóteses que conduzam aos estudos da disciplina.
Passo 1
O enunciado pede: partir da primeira Lei da Termodinâmica (balanço de energia para um volume de controle) — cuja forma geral fornecida é
— e obter a Equação de Bernoulli.
Informações / itens dados (retirados do enunciado):
- A equação acima é o balanço de energia para um volume de controle (VC) em termos de taxa de variação de energia interna/total
, calor trocado com o VC , trabalho feito pelo VC e fluxos de energia convectiva associada às massas que entram e saem (cada termo envolvendo entalpia , energia cinética e energia potencial ). - Os símbolos aparecem como
, e existem somatórios para entradas (índice ) e saídas (índice ).
O objetivo é explicitar todas as hipóteses simplificadoras necessárias e desenvolver, passo a passo, a derivação até obter a forma usual da equação de Bernoulli. Vou detalhar o significado de cada termo antes de começar a simplificar.
Passo 2
Definições e significados físicos dos termos (aula rápida para você não se perder):
-
: energia total contida no volume de controle. Normalmente é a integração sobre o volume de controle da densidade vezes a energia específica total (energia interna + cinética + potencial ):
-
: taxa de variação temporal dessa energia dentro do VC (energia armazenada). -
: taxa de calor adicionada ao volume de controle (positivo para calor entrando). -
: taxa de trabalho feita pelo volume de controle sobre o ambiente (aqui não inclui o trabalho de escoamento — esse aparece via entalpia nos termos convectivos). Em aplicações de escoamento estacionário normalmente representa trabalho de eixo (bombas, turbinas) ou trabalho de superfície móvel. -
: vazão mássica (kg/s) de massa que atravessa as superfícies do VC. Entradas usam índice , saídas usam . -
: entalpia específica (energia por unidade de massa) definida por
onde
é a energia interna específica,
a pressão e
o volume específico. Fisicamente,
inclui a energia interna mais a energia necessária para empurrar o fluido para dentro/fora do VC (o chamado “work of flow” ou trabalho de escoamento).
-
: velocidade do fluido em cada seção (magnitude), é a energia cinética por unidade de massa. -
: cota vertical (altura) e é a aceleração gravitacional; é energia potencial por unidade de massa. - Os termos
representam o fluxo de energia associado à massa que entra ou sai.
Agora que os termos estão claros, vamos ver que hipóteses costumam ser feitas para chegar à Bernoulli.
Passo 3
Lista explícita das hipóteses simplificadoras que vamos assumir (cada hipótese será justificada):
- Escoamento estacionário (regime permanente): todas as propriedades no controle variam no tempo de forma nula quando observado em pontos fixos no espaço — em particular,
Motivo prático: Bernoulli é uma equação de energia para escoamentos que não mudam no tempo.
-
Escoamento unidimensional entre duas seções de interesse (duas seções transversais do mesmo fio de corrente/linha de escoamento): podemos tomar apenas uma vazão mássica
que entra numa seção e sai em outra; em regime estacionário . Isso permite cancelar mais adiante. -
Fluido incompressível e de densidade constante
const (ex.: água em escoamento hidráulico a velocidades moderadas). Consequência útil: variações de energia interna específica são desprezíveis entre as seções (para incompressível praticamente constante) e é constante. -
Fluido não viscoso (inviscid) ou perdas por atrito internas negligenciáveis: não há dissipação de energia por viscosidade. Assim, não introduzimos termos de perda de energia (head loss) no balanço ideal.
-
Sem transferência de calor entre ambiente e o fluido no processo considerado:
(adiabático ou calor desprezível na escala considerada). -
Sem trabalho de eixo ou trabalho externo aplicado ao VC (bomba/turbina) que afete o trecho analisado:
. -
Sem variação significativa da energia interna específica entre as seções (decorrente de incompressibilidade e ausência de aquecimento/compressão): isso permitirá substituir
por .
Observação importante: cada hipótese limita a validade da Bernoulli. Se uma delas não for válida (por exemplo fluido compressível, forte aquecimento, presença de bomba, ou perdas por atrito), a forma simples da Bernoulli não se aplica sem termos adicionais.
Passo 4
Aplicando as hipóteses ao balanço geral — começo do desenvolvimento algébrico.
Começamos da equação dada:
Agora imponho as hipóteses uma a uma:
- Regime estacionário:
. - Nenhum calor trocado:
. - Nenhum trabalho de eixo (nem trabalho externo):
.
Com isso sobra apenas o balanço dos termos convectivos de energia:
Passo 5
Redução ao caso de duas seções (seção 1 e seção 2) ao longo de uma mesma linha de corrente: assumimos uma entrada e uma saída com a mesma vazão mássica
(por continuidade no regime estacionário). Então os somatórios reduzem para dois termos iguais em módulo:
Como
, podemos dividir por
e obter:
Isto já é uma forma energética de conservaçãodo “entalpia + cinética + potencial” por unidade de massa entre duas seções.
Passo 6
Expressar a entalpia em termos de pressão e energia interna e aplicar a hipótese de incompressibilidade.
Lembrando a definição de entalpia específica:
Substituindo em cada lado da equação:
Agora, pela hipótese de fluido incompressível e ausência de aquecimento/trabalho que altere a energia interna, podemos considerar
. Assim os termos
se cancelam:
Essa é a forma clássica da equação de Bernoulli por unidade de massa.
Passo 7
Apresentar as formas usuais e interpretação física (como aplicar na prova):
- Forma por unidade de massa (energia por unidade de massa constante ao longo de um fio de corrente, para as hipóteses assumidas):
Interpretação: a soma da energia de pressão por unidade de massa
(energia associada ao “empurrar” o fluido), da energia cinética por unidade de massa
, e da energia potencial por unidade de massa
permanece constante ao longo da linha de corrente.
- Forma por unidade de peso (heads), muito usada em hidráulica (divide tudo por
):
Aqui cada termo tem unidade de comprimento (metros):
= pressão-head,
= velocity-head,
= elevation-head.
Passo 8
Observações sobre limitações e extensões (para você saber o que verificar na prova):
- Se há trabalho de bomba ou turbina atuando entre as seções, incluir um termo específico
no lado direito ou esquerdo (por unidade de massa). Por exemplo, com bomba que adiciona energia por unidade de massa :
- Se houver perdas por atrito (viscosidade), acrescenta-se um termo de perda de energia
(por unidade de massa ou por unidade de peso) ao lado devidas às dissipações:
- Para gases compressíveis, a forma simples não vale: a entalpia não reduz a
simples, e varia com temperatura/pressão, exigindo tratamento termodinâmico adequado (ou usar formas para compressível com integração de etc.). - Bernoulli vale ao longo de uma mesma linha de corrente em escoamentos irrotacionais. Em escoamentos rotacionais sua validade global é limitada.
Passo 9
Resumo didático (como lembrar na prova):
- Parta sempre do balanço energético em volume de controle.
- Se for regime estacionário, sem calor, sem trabalho de eixo, duas seções com mesma vazão mássica e incompressível, você pode cancelar
, substituir e cancelar para obter Bernoulli. - Verifique se deve usar a forma por unidade de massa (
) ou por unidade de peso ( ) e se deve incluir perdas ou máquinas.