1. Partindo da 1^{\text {a }} Lei da Termodinâmica, obtenha a Equação de Bernoulli. Destaque todas as hipóteses simplificadoras e explicite os desenvolvimentos - no maior detalhamento possível.
\frac{d E}{d t}=\dot{Q}_{V C}-\dot{W}_{V C}+\sum \dot{m}_{e}\left(h_{e}+\frac{V_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right)-\sum \dot{m}_{s}\left(h_{s}+\frac{V_{s}^{2}}{2}+g z_{s}\right)
Dica: pesquise na internet as definições de cada termo e considere as hipóteses que conduzam aos estudos da disciplina.

Passo 1

O enunciado pede: partir da primeira Lei da Termodinâmica (balanço de energia para um volume de controle) — cuja forma geral fornecida é
\frac{dE}{dt}=\dot{Q}_{VC}-\dot{W}_{VC}+\sum \dot{m}_{e}\left(h_{e}+\frac{V_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right)-\sum \dot{m}_{s}\left(h_{s}+\frac{V_{s}^{2}}{2}+g z_{s}\right)
— e obter a Equação de Bernoulli.
Informações / itens dados (retirados do enunciado):
  • A equação acima é o balanço de energia para um volume de controle (VC) em termos de taxa de variação de energia interna/total \dfrac{dE}{dt}, calor trocado com o VC \dot{Q}_{VC}, trabalho feito pelo VC \dot{W}_{VC} e fluxos de energia convectiva associada às massas que entram e saem (cada termo envolvendo entalpia h, energia cinética V^2/2 e energia potencial g z).
  • Os símbolos aparecem como E,\\ \dot{Q}_{VC},\\ \dot{W}_{VC},\\ \dot{m},\\ h,\\ V,\\ z,\\ g, e existem somatórios para entradas (índice e) e saídas (índice s).
O objetivo é explicitar todas as hipóteses simplificadoras necessárias e desenvolver, passo a passo, a derivação até obter a forma usual da equação de Bernoulli. Vou detalhar o significado de cada termo antes de começar a simplificar.

Passo 2

Definições e significados físicos dos termos (aula rápida para você não se perder):
  • E: energia total contida no volume de controle. Normalmente é a integração sobre o volume de controle da densidade vezes a energia específica total (energia interna u + cinética V^2/2 + potencial g z):
E=\int_{VC}\rho\left(u+\frac{V^2}{2}+g z\right)\,dV.
  • \dfrac{dE}{dt}: taxa de variação temporal dessa energia dentro do VC (energia armazenada).
  • \dot{Q}_{VC}: taxa de calor adicionada ao volume de controle (positivo para calor entrando).
  • \dot{W}_{VC}: taxa de trabalho feita pelo volume de controle sobre o ambiente (aqui não inclui o trabalho de escoamento — esse aparece via entalpia nos termos convectivos). Em aplicações de escoamento estacionário normalmente \dot{W}_{VC} representa trabalho de eixo (bombas, turbinas) ou trabalho de superfície móvel.
  • \dot{m}: vazão mássica (kg/s) de massa que atravessa as superfícies do VC. Entradas usam índice e, saídas usam s.
  • h: entalpia específica (energia por unidade de massa) definida por
h=u+p\,v = u+\frac{p}{\rho},
onde u é a energia interna específica, p a pressão e v=1/\rho o volume específico. Fisicamente, h inclui a energia interna mais a energia necessária para empurrar o fluido para dentro/fora do VC (o chamado “work of flow” ou trabalho de escoamento).
  • V: velocidade do fluido em cada seção (magnitude), V^2/2 é a energia cinética por unidade de massa.
  • z: cota vertical (altura) e g é a aceleração gravitacional; g z é energia potencial por unidade de massa.
  • Os termos \dot{m}\left(h+\dfrac{V^2}{2}+g z\right) representam o fluxo de energia associado à massa que entra ou sai.
Agora que os termos estão claros, vamos ver que hipóteses costumam ser feitas para chegar à Bernoulli.

Passo 3

Lista explícita das hipóteses simplificadoras que vamos assumir (cada hipótese será justificada):
  1. Escoamento estacionário (regime permanente): todas as propriedades no controle variam no tempo de forma nula quando observado em pontos fixos no espaço — em particular,
\frac{dE}{dt}=0.
Motivo prático: Bernoulli é uma equação de energia para escoamentos que não mudam no tempo.
  1. Escoamento unidimensional entre duas seções de interesse (duas seções transversais do mesmo fio de corrente/linha de escoamento): podemos tomar apenas uma vazão mássica \dot{m} que entra numa seção e sai em outra; em regime estacionário \dot{m}_{\text{entrada}}=\dot{m}_{\text{saída}}=\dot{m}í. Isso permite cancelar \dot{m} mais adiante.
  2. Fluido incompressível e de densidade constante \rho= const (ex.: água em escoamento hidráulico a velocidades moderadas). Consequência útil: variações de energia interna específica u são desprezíveis entre as seções (para incompressível u praticamente constante) e v=1/\rho é constante.
  3. Fluido não viscoso (inviscid) ou perdas por atrito internas negligenciáveis: não há dissipação de energia por viscosidade. Assim, não introduzimos termos de perda de energia (head loss) no balanço ideal.
  4. Sem transferência de calor entre ambiente e o fluido no processo considerado: \dot{Q}_{VC}=0 (adiabático ou calor desprezível na escala considerada).
  5. Sem trabalho de eixo ou trabalho externo aplicado ao VC (bomba/turbina) que afete o trecho analisado: \dot{W}_{VC}=0.
  6. Sem variação significativa da energia interna específica entre as seções (decorrente de incompressibilidade e ausência de aquecimento/compressão): isso permitirá substituir \Delta h por \Delta(p/\rho).
Observação importante: cada hipótese limita a validade da Bernoulli. Se uma delas não for válida (por exemplo fluido compressível, forte aquecimento, presença de bomba, ou perdas por atrito), a forma simples da Bernoulli não se aplica sem termos adicionais.

Passo 4

Aplicando as hipóteses ao balanço geral — começo do desenvolvimento algébrico.
Começamos da equação dada:
\frac{dE}{dt}=\dot{Q}_{VC}-\dot{W}_{VC}+\sum \dot{m}_{e}\left(h_{e}+\frac{V_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right)-\sum \dot{m}_{s}\left(h_{s}+\frac{V_{s}^{2}}{2}+g z_{s}\right).
Agora imponho as hipóteses uma a uma:
  • Regime estacionário: \dfrac{dE}{dt}=0.
  • Nenhum calor trocado: \dot{Q}_{VC}=0.
  • Nenhum trabalho de eixo (nem trabalho externo): \dot{W}_{VC}=0.
Com isso sobra apenas o balanço dos termos convectivos de energia:
0=\sum \dot{m}_{e}\left(h_{e}+\frac{V_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right)-\sum \dot{m}_{s}\left(h_{s}+\frac{V_{s}^{2}}{2}+g z_{s}\right).

Passo 5

Redução ao caso de duas seções (seção 1 e seção 2) ao longo de uma mesma linha de corrente: assumimos uma entrada e uma saída com a mesma vazão mássica \dot{m} (por continuidade no regime estacionário). Então os somatórios reduzem para dois termos iguais em módulo:
0=\dot{m}\left(h_1+\frac{V_1^{2}}{2}+g z_1\right)-\dot{m}\left(h_2+\frac{V_2^{2}}{2}+g z_2\right).
Como \dot{m}\neq 0, podemos dividir por \dot{m} e obter:
h_1+\frac{V_1^{2}}{2}+g z_1 = h_2+\frac{V_2^{2}}{2}+g z_2.
Isto já é uma forma energética de conservaçãodo “entalpia + cinética + potencial” por unidade de massa entre duas seções.

Passo 6

Expressar a entalpia em termos de pressão e energia interna e aplicar a hipótese de incompressibilidade.
Lembrando a definição de entalpia específica:
h = u + \frac{p}{\rho}.
Substituindo em cada lado da equação:
\left(u_1+\frac{p_1}{\rho}\right)+\frac{V_1^{2}}{2}+g z_1 = \left(u_2+\frac{p_2}{\rho}\right)+\frac{V_2^{2}}{2}+g z_2.
Agora, pela hipótese de fluido incompressível e ausência de aquecimento/trabalho que altere a energia interna, podemos considerar u_1 \approx u_2. Assim os termos u se cancelam:
\frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^{2}}{2}+g z_1 = \frac{p_2}{\rho}+\frac{V_2^{2}}{2}+g z_2.
Essa é a forma clássica da equação de Bernoulli por unidade de massa.

Passo 7

Apresentar as formas usuais e interpretação física (como aplicar na prova):
  1. Forma por unidade de massa (energia por unidade de massa constante ao longo de um fio de corrente, para as hipóteses assumidas):
\frac{p}{\rho}+\frac{V^{2}}{2}+g z = \text{const}.
Interpretação: a soma da energia de pressão por unidade de massa \dfrac{p}{\rho} (energia associada ao “empurrar” o fluido), da energia cinética por unidade de massa \dfrac{V^{2}}{2}, e da energia potencial por unidade de massa g z permanece constante ao longo da linha de corrente.
  1. Forma por unidade de peso (heads), muito usada em hidráulica (divide tudo por g):
\frac{p}{\rho g}+\frac{V^{2}}{2g}+z = \text{const}.
Aqui cada termo tem unidade de comprimento (metros): p/(\rho g) = pressão-head, V^2/(2g) = velocity-head, z = elevation-head.

Passo 8

Observações sobre limitações e extensões (para você saber o que verificar na prova):
  • Se há trabalho de bomba ou turbina atuando entre as seções, incluir um termo específico w_{shaft}/\dot{m} no lado direito ou esquerdo (por unidade de massa). Por exemplo, com bomba que adiciona energia por unidade de massa w_b:
\frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2}+g z_1 + w_b = \frac{p_2}{\rho}+\frac{V_2^2}{2}+g z_2.
  • Se houver perdas por atrito (viscosidade), acrescenta-se um termo de perda de energia h_L (por unidade de massa ou por unidade de peso) ao lado devidas às dissipações:
\frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2}+g z_1 = \frac{p_2}{\rho}+\frac{V_2^2}{2}+g z_2 + h_L.
  • Para gases compressíveis, a forma simples não vale: a entalpia não reduz a p/\rho simples, e u varia com temperatura/pressão, exigindo tratamento termodinâmico adequado (ou usar formas para compressível com integração de dh etc.).
  • Bernoulli vale ao longo de uma mesma linha de corrente em escoamentos irrotacionais. Em escoamentos rotacionais sua validade global é limitada.

Passo 9

Resumo didático (como lembrar na prova):
  • Parta sempre do balanço energético em volume de controle.
  • Se for regime estacionário, sem calor, sem trabalho de eixo, duas seções com mesma vazão mássica e incompressível, você pode cancelar \dot m, substituir h=u+p/\rho e cancelar u para obter Bernoulli.
  • Verifique se deve usar a forma por unidade de massa ( p/\rho) ou por unidade de peso ( p/(\rho g)) e se deve incluir perdas ou máquinas.

Resposta

\displaystyle \frac{p}{\rho}+\frac{V^{2}}{2}+g z=\text{const}
\displaystyle \text{(forma alternativa)}\quad \frac{p}{\rho g}+\frac{V^{2}}{2g}+z=\text{const}

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