Exercicio 6) Adotando o sistema internacional, demonstre a homogeneidade dimensional dos termos da equação de Bernoulli para a equação na forma de:
Carga:

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a homogeneidade dimensional dos termos da equação de Bernoulli na forma de “carga” (head). Vou trabalhar com a forma usual:
z+\frac{p}{\rho g}+\frac{v^{2}}{2g}=\text{constante},
onde os símbolos envolvidos são:
  • z: elevação (carga geométrica);
  • p: pressão do fluido;
  • \rho: massa específica (densidade) do fluido;
  • g: aceleração da gravidade;
  • v: velocidade do fluido.
O objetivo é mostrar, adotando o Sistema Internacional, que cada um desses três termos tem a mesma dimensão (ou seja, a equação é dimensionalmente homogênea).

Passo 2

O que significa “dimensão” e quais símbolos vamos usar:
  • Usaremos as dimensões fundamentais \\ [M] (massa), [L] (comprimento) e [T] (tempo).
  • Uma grandeza é homogênea dimensionalmente quando todos os termos somados têm a mesma dimensão. Aqui esperamos que cada termo da soma tenha dimensão de comprimento [L] (unidade SI: metro, \mathrm{m}).

Passo 3

Dimensão de z:
  • z é uma elevação/altura, portanto a sua dimensão é claramente comprimento:
[z]=[L].

Passo 4

Dimensão de p/(\rho g). Primeiro obtenha a dimensão de cada grandeza:
  • Pressão p é força por área. Força tem dimensão [M][L][T]^{-2} (massa × aceleração). Então
[p]=\frac{[{\rm força}]}{[{\rm área}]}=\frac{[M][L][T]^{-2}}{[L]^{2}}=[M][L]^{-1}[T]^{-2}.çá
  • Densidade \rho é massa por volume:
[\rho]=\frac{[M]}{[L]^{3}}=[M][L]^{-3}.
  • Aceleração da gravidade g tem dimensão de aceleração:
[g]=[L][T]^{-2}.
Agora calcule a dimensão de \dfrac{p}{\rho g}:
\left[\frac{p}{\rho g}\right]=\frac{[p]}{[\rho]\,[g]} =\frac{[M][L]^{-1}[T]^{-2}}{\big([M][L]^{-3}\big)\big([L][T]^{-2}\big)}.
Simplificando os factores:
\left[\frac{p}{\rho g}\right]=\frac{[M][L]^{-1}[T]^{-2}}{[M][L]^{-2}[T]^{-2}}=[L].
Logo \dfrac{p}{\rho g} tem dimensão de comprimento [L].

Passo 5

Dimensão de v^{2}/(2g). Primeiro a dimensão de v:
  • Velocidade v tem dimensão [L][T]^{-1}. Então
[v^{2}]=[L]^{2}[T]^{-2}.
Dividindo por g (dimensão [L][T]^{-2}):
\left[\frac{v^{2}}{g}\right]=\frac{[L]^{2}[T]^{-2}}{[L][T]^{-2}}=[L].
O fator numérico 1/2 é adimensional e não altera a dimensão. Portanto \dfrac{v^{2}}{2g} também tem dimensão de comprimento [L].

Passo 6

Conclusão e interpretação:
  • Encontramos [z]=[L], \left[\dfrac{p}{\rho g}\right]=[L] e \left[\dfrac{v^{2}}{2g}\right]=[L].
  • Todos os termos somados na expressão têm a mesma dimensão [L], portanto a equação está dimensionalmente homogênea (cada termo representa uma “carga” com dimensão de comprimento, geralmente expressa em metros no SI).

Resposta

Todos os termos têm dimensão de comprimento [L] (unidade SI: metro), logo a equação é dimensionalmente homogênea.

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