Exercicio 6) Adotando o sistema internacional, demonstre a homogeneidade dimensional dos termos da equação de Bernoulli para a equação na forma de:
Carga:
Carga:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a homogeneidade dimensional dos termos da equação de Bernoulli na forma de “carga” (head). Vou trabalhar com a forma usual:
onde os símbolos envolvidos são:
-
: elevação (carga geométrica); -
: pressão do fluido; -
: massa específica (densidade) do fluido; -
: aceleração da gravidade; -
: velocidade do fluido.
O objetivo é mostrar, adotando o Sistema Internacional, que cada um desses três termos tem a mesma dimensão (ou seja, a equação é dimensionalmente homogênea).
Passo 2
O que significa “dimensão” e quais símbolos vamos usar:
- Usaremos as dimensões fundamentais
(massa), (comprimento) e (tempo). - Uma grandeza é homogênea dimensionalmente quando todos os termos somados têm a mesma dimensão. Aqui esperamos que cada termo da soma tenha dimensão de comprimento
(unidade SI: metro, ).
Passo 3
Dimensão de
:
-
é uma elevação/altura, portanto a sua dimensão é claramente comprimento:
Passo 4
Dimensão de
. Primeiro obtenha a dimensão de cada grandeza:
- Pressão
é força por área. Força tem dimensão (massa × aceleração). Então
- Densidade
é massa por volume:
- Aceleração da gravidade
tem dimensão de aceleração:
Agora calcule a dimensão de
:
Simplificando os factores:
Logo
tem dimensão de comprimento
.
Passo 5
Dimensão de
. Primeiro a dimensão de
:
- Velocidade
tem dimensão . Então
Dividindo por
(dimensão
):
O fator numérico
é adimensional e não altera a dimensão. Portanto
também tem dimensão de comprimento
.
Passo 6
Conclusão e interpretação:
- Encontramos
, e . - Todos os termos somados na expressão têm a mesma dimensão
, portanto a equação está dimensionalmente homogênea (cada termo representa uma “carga” com dimensão de comprimento, geralmente expressa em metros no SI).
Resposta
Todos os termos têm dimensão de comprimento
(unidade SI: metro), logo a equação é dimensionalmente homogênea.