O campo de velocidade do escoamento bidimensional e incompressível de glicerina a 20^{\circ} \mathrm{C} (fluido Newtoniano) é descrito por
\mathbf{V}=\left(12 x y^{2}-6 x^{3}\right) \hat{\imath}+\left(18 x^{2} y-4 y^{3}\right) \hat{\jmath}
onde x e y são dados em metros e a velocidade \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}. Admita que as propriedades do fluido são \rho=1.260 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Determine a pressão no ponto ( x=0,50 \mathrm{~m} ; y=1,00 \mathrm{~m} ) sabendo que a pressão no ponto (x=1,00 \mathrm{~m}, y=1,75 \mathrm{~m}) é igual a 6 kPa .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Campo de velocidade (não será usado diretamente, mas está informado):
\mathbf{V}=(12 x y^{2}-6 x^{3})\,\hat{\imath}+(18 x^{2}y-4 y^{3})\,\hat{\jmath}.
  • Densidade e aceleração da gravidade fornecidas: \rho=1{,}260\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Pressão conhecida no ponto B: no ponto (x=1{,}00\\ \mathrm{m},\;y=1{,}75\\ \mathrm{m}) tem-se p_B=6{,}0\\ \mathrm{kPa}.
  • Ponto onde se pede a pressão: A=(x=0{,}50\\ \mathrm{m},\;y=1{,}00\\ \mathrm{m}).
O que é pedido: determinar a pressão em A, dado p em B.
Observação importante (sem perguntar nada): há uma ambiguidade no valor de \rho indicado. Para glicerina a 20^\circ\mathrm{C} o valor físico típico é \rho\approx1{,}260\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} (ou seja, 1260\\ \mathrm{kg/m^{3}}). Se a intenção do enunciado foi escrever esse valor (que é o usual para glicerina), usarei \rho=1260\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Se o enunciado realmente quis dizer \rho=1{,}260\\ \mathrm{kg/m^{3}} (o que seria atípico para glicerina), o resultado numérico muda — eu comento isso mais adiante.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (passo obrigatório segundo o algoritmo):
  • Em princípio, para relacionar pressões entre dois pontos em um escoamento precisamos usar as equações de movimento (Navier–Stokes) ou o teorema de Bernoulli.
  • Para usar Navier–Stokes de forma útil precisaríamos da viscosidade dinâmica \mu e verificar compatibilidades; o enunciado NÃO fornece \mu.
  • O teorema de Bernoulli (forma clássica) vale apenas ao longo de uma mesma linha de corrente para escoamento invíscido e estacionário; aqui os dois pontos NÃO estão, em geral, na mesma linha de corrente (o campo de corrente dado gera linhas distintas) e além disso o fluido é altamente viscoso (glicerina).
  • Portanto, a maneira mais básica e bem definida, que usa apenas os dados que temos, é a relação hidrostática (pressão varia apenas com a elevação quando não há efeitos dinâmicos relevantes ou quando se está interessado na variação vertical entre pontos e não é dada \mu). Vou assumir que a diferença de pressão entre os dois pontos é dominada pelo termo hidrostático \rho g\Delta y.
  • Observação honesta: se o problema exigisse a pressão completa determinada a partir de Navier–Stokes com convective+viscoso, faltaria \mu e haveria verificações adicionais; por isso adoto a hipótese hidrostática (método mais básico e utilizável com os dados fornecidos).

Passo 3

Enunciando a relação hidrostática e explicando-a didaticamente:
  • A relação hidrostática diz que, para variações verticais numa coluna de fluido em equilíbrio (ou quando os termos de aceleração são desprezíveis), a variação de pressão com a coordenada vertical y é dada por
\frac{\partial p}{\partial y} = -\rho g,
quando y é a cota vertical positiva para cima. Isso significa que, entre dois pontos 1 e 2 com altitudes y_1 e y_2,
p_1 = p_2 + \rho g (y_2-y_1).
  • Interpretação física simples: descendo uma distância \Delta y dentro do fluido a pressão aumenta em \rho g \Delta y.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos pontos dados:
  • Vamos denotar B o ponto conhecido com p_B=6{,}0\\ \mathrm{kPa} em y_B=1{,}75\\ \mathrm{m} e A o ponto pedido com y_A=1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • A diferença de cota é
\Delta y = y_B - y_A = 1{,}75 - 1{,}00 = 0{,}75\\ \mathrm{m}.
  • Usando \rho=1260\\ \mathrm{kg/m^{3}} (interpretação usual para glicerina) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, calculamos a variação de pressão
\Delta p = \rho g \Delta y = 1260\cdot 9{,}81 \cdot 0{,}75.
  • Calcule passo a passo:
9{,}81\cdot 0{,}75 = 7{,}3575,
1260\cdot 7{,}3575 = 9\,268{,}45\\ \mathrm{Pa}.
  • Assim
p_A = p_B + \Delta p = 6\,000\\ \mathrm{Pa} + 9\,268{,}45\\ \mathrm{Pa} = 15\,268{,}45\\ \mathrm{Pa}.
  • Em unidades práticas:
p_A \approx 15{,}27\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Comentário final sobre ambiguidade do dado \rho:
  • Se, ao contrário, a interpretação literal do enunciado fosse \rho=1{,}260\\ \mathrm{kg/m^{3}} (ou seja, mil vezes menor do que o valor físico usual para glicerina), então a variação \Delta p seria 1{,}260\cdot 9{,}81\cdot 0{,}75 \approx 9{,}27\\ \mathrm{Pa} e teríamos p_A\approx 6\,009{,}27\\ \mathrm{Pa} (praticamente 6{,}009\\ \mathrm{kPa}). Por isso é importante a interpretação de \rho; para glicerina usa-se \rho\approx1260\\ \mathrm{kg/m^{3}}, e o resultado principal acima foi calculado com esse valor.

Resposta

p_A \approx 15{,}27\\ \mathrm{kPa}

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