O campo de velocidade do escoamento bidimensional e incompressível de glicerina a
(fluido Newtoniano) é descrito por
onde
e
são dados em metros e a velocidade
. Admita que as propriedades do fluido são
e
.
Determine a pressão no ponto (
) sabendo que a pressão no ponto
é igual a 6 kPa .
Determine a pressão no ponto (
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
- Campo de velocidade (não será usado diretamente, mas está informado):
- Densidade e aceleração da gravidade fornecidas:
e . - Pressão conhecida no ponto
: no ponto tem-se . - Ponto onde se pede a pressão:
.
O que é pedido: determinar a pressão em
, dado
em
.
Observação importante (sem perguntar nada): há uma ambiguidade no valor de
indicado. Para glicerina a
o valor físico típico é
(ou seja,
). Se a intenção do enunciado foi escrever esse valor (que é o usual para glicerina), usarei
. Se o enunciado realmente quis dizer
(o que seria atípico para glicerina), o resultado numérico muda — eu comento isso mais adiante.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (passo obrigatório segundo o algoritmo):
- Em princípio, para relacionar pressões entre dois pontos em um escoamento precisamos usar as equações de movimento (Navier–Stokes) ou o teorema de Bernoulli.
- Para usar Navier–Stokes de forma útil precisaríamos da viscosidade dinâmica
e verificar compatibilidades; o enunciado NÃO fornece . - O teorema de Bernoulli (forma clássica) vale apenas ao longo de uma mesma linha de corrente para escoamento invíscido e estacionário; aqui os dois pontos NÃO estão, em geral, na mesma linha de corrente (o campo de corrente dado gera linhas distintas) e além disso o fluido é altamente viscoso (glicerina).
- Portanto, a maneira mais básica e bem definida, que usa apenas os dados que temos, é a relação hidrostática (pressão varia apenas com a elevação quando não há efeitos dinâmicos relevantes ou quando se está interessado na variação vertical entre pontos e não é dada
). Vou assumir que a diferença de pressão entre os dois pontos é dominada pelo termo hidrostático . - Observação honesta: se o problema exigisse a pressão completa determinada a partir de Navier–Stokes com convective+viscoso, faltaria
e haveria verificações adicionais; por isso adoto a hipótese hidrostática (método mais básico e utilizável com os dados fornecidos).
Passo 3
Enunciando a relação hidrostática e explicando-a didaticamente:
- A relação hidrostática diz que, para variações verticais numa coluna de fluido em equilíbrio (ou quando os termos de aceleração são desprezíveis), a variação de pressão com a coordenada vertical
é dada por
quando
é a cota vertical positiva para cima. Isso significa que, entre dois pontos
e
com altitudes
e
,
- Interpretação física simples: descendo uma distância
dentro do fluido a pressão aumenta em .
Passo 4
Aplicando a fórmula aos pontos dados:
- Vamos denotar
o ponto conhecido com em e o ponto pedido com . - A diferença de cota é
- Usando
(interpretação usual para glicerina) e , calculamos a variação de pressão
- Calcule passo a passo:
- Assim
- Em unidades práticas:
Passo 5
Comentário final sobre ambiguidade do dado
:
- Se, ao contrário, a interpretação literal do enunciado fosse
(ou seja, mil vezes menor do que o valor físico usual para glicerina), então a variação seria e teríamos (praticamente ). Por isso é importante a interpretação de ; para glicerina usa-se , e o resultado principal acima foi calculado com esse valor.