A partir da definição do divergente, obtenha uma expressão para \nabla \cdot \mathbf{F}^{\prime} em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O que o enunciado pede: obter uma expressão para \nabla\cdot\mathbf{F}^{\prime} em coordenadas cilíndricas a partir da definição do divergente.
Informações dadas (assumidas porque a questão não especifica, mas são as usuais para essa dedução):
\mathbf{F}^{\prime} é escrita em componentes cilíndricas como
\mathbf{F}^{\prime} = F_{r}(r,\theta,z)\,\hat{e}_{r} + F_{\theta}(r,\theta,z)\,\hat{e}_{\theta} + F_{z}(r,\theta,z)\,\hat{e}_{z}.
A definição do divergente que vamos usar é a definida via fluxo:
\nabla\cdot\mathbf{F}^{\prime} = \lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{\partial V}\mathbf{F}^{\prime}\cdot d\mathbf{S},
ou seja, divergente = fluxo líquido por unidade de volume no limite do volume tendendo a zero.
Nenhuma outra informação foi fornecida; por isso vou derivar a expressão usando um pequeno elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Escolhemos um pequeno elemento de volume em coordenadas cilíndricas: r\in[r,r+dr], \theta\in[\theta,\theta+d\theta], z\in[z,z+dz]. O volume desse elemento vale
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação rápida de por que aparece o fator r: ao movimentar-se um pequeno ângulo d\theta a uma distância radial r, o comprimento do arco é r\,d\theta; portanto as extensões em r,\theta,z fazem o volume ser r\,dr\,d\theta\,dz.
Vamos calcular o fluxo através das seis faces desse paralelepípedo curvo (duas faces normais a \hat{e}_{r}, duas normais a \hat{e}_{\theta} e duas normais a \hat{e}_{z}), somar e dividir por dV, e depois tomar o limite.

Passo 3

Fluxo pelas faces radiais (normais a \hat{e}_{r}):
  • Face externa em r+dr: a área dessa face é (r+dr)\,d\theta\,dz (porque o comprimento do arco ali é (r+dr)\,d\theta), e o fluxo saindo é aproximadamente
\Phi_{r}^{(+)} \approx F_{r}(r+dr,\theta,z)\cdot (r+dr)\,d\theta\,dz.
  • Face interna em r: a área é r\,d\theta\,dz, e o fluxo saindo pela face interna (que aponta no sentido negativo de \hat{e}_{r}) é
\Phi_{r}^{(-)} \approx -F_{r}(r,\theta,z)\cdot r\,d\theta\,dz.
Fluxo radial líquido:
\Phi_{r} = \Phi_{r}^{(+)}+\Phi_{r}^{(-)} = \bigl[F_{r}(r+dr,\theta,z)(r+dr)-F_{r}(r,\theta,z)r\bigr]d\theta\,dz.
Fazendo expansão em série de Taylor em dr e ficando com termos de primeira ordem:
F_{r}(r+dr,\theta,z)(r+dr)-F_{r}(r,\theta,z)r \approx \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r F_{r}(r,\theta,z)\bigr)\,dr.
Portanto
\Phi_{r} \approx \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r F_{r}\bigr)\,dr\,d\theta\,dz.
Dividindo pelo volume dV=r\,dr\,d\theta\,dz obtemos a contribuição radial para o divergente:
\frac{\Phi_{r}}{dV} \approx \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r F_{r}\bigr).
Aqui expliquei cada termo: F_{r} é a componente radial da velocidade/campo; multiplicamos por r porque a área da face radial é proporcional ao comprimento do arco r\,d\theta.

Passo 4

Fluxo pelas faces azimutais (normais a \hat{e}_{\theta}):
  • Face em \theta\!+\!d\theta: essa face tem área aproximada dr\,dz (é um retângulo com lados dr e dz), e o fluxo saindo é aproximadamente
\Phi_{\theta}^{(+)} \approx F_{\theta}(r,\theta+d\theta,z)\,dr\,dz.
  • Face em \theta: fluxo saindo (que aponta no sentido negativo de \hat{e}_{\theta}) é
\Phi_{\theta}^{(-)} \approx -F_{\theta}(r,\theta,z)\,dr\,dz.
Observação didática: a razão pela qual a área das faces azimutais é dr\,dz e não envolve r é porque estas faces são cortadas por superfícies de constante \theta; o comprimento ao longo \theta não aparece aqui — o fator r que representa o “alongamento” angular está já presente no volume dV via r\,d\theta.
Fluxo azimutal líquido:
\Phi_{\theta} = \Phi_{\theta}^{(+)}+\Phi_{\theta}^{(-)} = \bigl[F_{\theta}(r,\theta+d\theta,z)-F_{\theta}(r,\theta,z)\bigr]dr\,dz.
Expandindo em Taylor em d\theta:
F_{\theta}(r,\theta+d\theta,z)-F_{\theta}(r,\theta,z)\approx \frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta}\,d\theta.
Logo
\Phi_{\theta} \approx \frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta}\,d\theta\,dr\,dz.
Dividindo por dV=r\,dr\,d\theta\,dz obtemos a contribuição azimutal:
\frac{\Phi_{\theta}}{dV} \approx \frac{1}{r}\frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta}.

Passo 5

Fluxo pelas faces verticais (normais a \hat{e}_{z}):
  • Face superior em z+dz: área dessa face é r\,dr\,d\theta (a área horizontal é o retângulo com lados r\,d\theta e dr); fluxo saindo é
\Phi_{z}^{(+)} \approx F_{z}(r,\theta,z+dz)\,r\,dr\,d\theta.
  • Face inferior em z: fluxo saindo (para fora do volume, que é direção negativa de \hat{e}_{z} naquela face) é
\Phi_{z}^{(-)} \approx -F_{z}(r,\theta,z)\,r\,dr\,d\theta.
Fluxo vertical líquido:
\Phi_{z} = \bigl[F_{z}(r,\theta,z+dz)-F_{z}(r,\theta,z)\bigr]r\,dr\,d\theta.
Expandindo em Taylor em dz:
F_{z}(r,\theta,z+dz)-F_{z}(r,\theta,z)\approx \frac{\partial F_{z}}{\partial z}\,dz.
Logo
\Phi_{z} \approx \frac{\partial F_{z}}{\partial z}\,dz\,r\,dr\,d\theta.
Dividindo por dV=r\,dr\,d\theta\,dz obtemos a contribuição vertical:
\frac{\Phi_{z}}{dV} \approx \frac{\partial F_{z}}{\partial z}.

Passo 6

Somando as três contribuições (radial, azimutal e vertical) obtemos, no limite dr,d\theta,dz\to 0,
\nabla\cdot\mathbf{F}^{\prime} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r F_{r}\bigr) + \frac{1}{r}\frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial F_{z}}{\partial z}.
Explicação do que cada termo representa:
  • \displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r F_{r}\bigr): variação radial do fluxo por unidade de área radial (o r vem da geometria do arco).
  • \displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta}: variação angular da componente tangencial por unidade de ângulo, normalizada pelo raio r.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{z}}{\partial z}: variação vertical usual.
Observação didática: uma razão para preferir a derivação por fluxo é que as unidades vetoriais \hat{e}_{r} e \hat{e}_{\theta} dependem de \theta; se você tentasse diferenciar componentes sem cuidar disso, teria de tratar a derivada dos vetores unitários. O método do fluxo evita esse trabalho porque usa diretamente as áreas das faces.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{F}^{\prime}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rF_{r}\bigr)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}.

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