A partir da equação geral da condução de calor, obter a expressão para a taxa de transferênciade calor e para a distribuição de temperatura no interior de uma parede plana empregando os seguintes contornos:
Primeira espécie na esquerda e terceira (convecção) na direita;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados do problema (usarei notação clara):
Parede plana de espessura L, coordenada x variando de x=0 (esquerda) a x=L (direita).
Condutividade térmica da parede: k (assumida constante).
Contorno à esquerda (primeira espécie): temperatura prescrita \,T(0)=T_s.
Contorno à direita (terceira espécie — convecção): coeficiente de convecção h e fluido com temperatura ambiente \,T_\infty. A condição na superfície x=L é a lei de Newton do resfriamento.
O que o enunciado pede:
A taxa de transferência de calor (por unidade de área, i.e. fluxo de calor \,q'' ) através da parede.
A distribuição de temperatura \,T(x) no interior da parede.
Observações implícitas que vamos usar: regime permanente (estado estacionário), apenas condução unidimensional no sentido x, sem geração interna de calor, propriedades constantes. Agora começo a resolução.
Passo 2
Escrevendo a equação geral da condução de calor e simplificando pelas hipóteses.
A equação geral (unidimensional, incluindo possibilidade de transiente e geração volumétrica) é:
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \dot{q}'''
onde
\rho é a densidade do material,
c é o calor específico,
k é a condutividade térmica,
\dot{q}''' é geração volumétrica.
Sob regime permanente (estado estacionário) a temperatura não depende do tempo, então \partial T/\partial t=0.
Se não há geração interna, então \dot{q}'''=0.
Portanto a equação reduz-se a:
\frac{d^2 T}{d x^2}=0.
Explicação rápida: essa equação diz que, em regime estacionário e sem fontes internas, a segunda derivada espacial da temperatura é zero — o que implica que a temperatura varia linearmente com x. (Se a segunda derivada fosse diferente de zero, haveria curvatura na distribuição por causa de geração ou acúmulo.)
Passo 3
Resolver a equação diferencial e escrever a solução geral.
Integrando duas vezes \dfrac{d^2 T}{dx^2}=0:
Primeira integração:
\frac{dT}{dx}=C_1,
onde C_1 é constante.
Segunda integração:
T(x)=C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante. Estas constantes serão determinadas pelas condições de contorno.
Observação: C_1 é a inclinação da temperatura; pelo princípio de Fourier, o fluxo de calor por unidade de área é \,q''(x) = -k \dfrac{dT}{dx} = -k C_1, que será constante (independente de x) pois C_1 é constante.
Passo 4
Aplicar a condição de contorno à esquerda (primeira espécie) para obter C_2.
A condição é \,T(0)=T_s. Substituindo em T(x)=C_1 x + C_2 em x=0 obtemos:
T(0)=C_2 = T_s.
Logo a solução passa a ser
T(x)=C_1 x + T_s.
Passo 5
Aplicar a condição de contorno à direita (terceira espécie, convecção) e determinar C_1 — daí obter o fluxo de calor \,q''.
A condição de convecção em x=L (lei de Newton do resfriamento combinada com a lei de Fourier) é:
Substituindo \dfrac{dT}{dx}=C_1 e T(L)=C_1 L + T_s obtemos:
-k C_1 = h\bigl(C_1 L + T_s - T_\infty\bigr).
Agrupando termos com C_1:
(-k - h L) C_1 = h (T_s - T_\infty).
Assim
C_1 = -\,\frac{h (T_s - T_\infty)}{k + h L}.
Agora o fluxo de calor por unidade de área, lembrando q'' = -k C_1, é:
q'' = -k C_1 = \frac{k h (T_s - T_\infty)}{k + h L}.
Interpretação física breve: se \,T_s>T_\infty então q''>0, ou seja, calor sai da face esquerda (a temperatura prescrita) passando pela parede e sendo convectado para o fluido à direita. Se preferir a forma de resistência térmica, escrevemos:
onde \dfrac{L}{k} é a resistência condutiva da parede (por unidade de área) e \dfrac{1}{h} é a resistência convectiva da superfície do lado direito; as resistências somam-se em série.
Passo 6
Encontrar a distribuição de temperatura T(x) substituindo C_1.
Usando T(x)=C_1 x + T_s e o valor de C_1 encontrado:
T(x)=T_s - \frac{h (T_s - T_\infty)}{k + h L}\; x.
Forma alternativa, usando o fluxo q'' (às vezes mais prática em prova):
T(x)=T_s - \frac{q''}{k}\;x,
com q'' dado em \,q'' = \dfrac{T_s - T_\infty}{L/k + 1/h}. Essa forma é útil porque mostra que a variação é linear e proporcional ao fluxo e inversamente a k.
Passo 7
Verificação rápida em x=L (checar que a condição de convecção fica satisfeita).
Substituindo x=L em T(x):
T(L)=T_s - \frac{h L (T_s - T_\infty)}{k + h L} = \frac{k T_s + h L T_\infty}{k + h L},
o que é coerente com a condição de balanço à superfície direita. (Isso é só um cheque; não altera as expressões finais.)
Passo 8
Resumo interpretativo e dicas para a prova (bem curto e motivador).
Resultado chave: temperatura varia linearmente entre x=0 e x=L; fluxo é constante e pode ser obtido pela analogia elétrica de resistências térmicas (condução L/k em série com convecção 1/h).
Na prova, ao ver “primeira espécie à esquerda e terceira à direita”, escreva imediatamente a solução geral linear, aplique T(0)=T_s e a condição de convecção em x=L para achar as constantes — normalmente cabe em poucos passos.