Uma placa de aquecimento elétrico de comprimento \mathrm{L}=25 \mathrm{~mm} e largura \mathrm{W}= 8 mm é para ser usado como um medidor de velocidade do vento. Vento, com uma temperatura T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} e velocidade u_{\infty} sopra paralelemente ao lado mais longo. A placa é aquecida internamente em ambos os lados por um aquecedor eléctrico que dissipa 0,5 \mathrm{~W} (metade dessa dissipação é prevista para cada lado). A temperatura da superfície é medida na borda de fuga da placa, mas pode ser assumida como sendo constante. Estime a velocidade do vento quando então a temperatura superficial T_{s}=32^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Estimar a velocidade do vento u_{\infty} tal que a placa aquecida mantenha a temperatura superficial T_{s}=32^{\circ}\mathrm{C} quando o ar ambiente tem T_{\infty}=20^{\circ}\mathrm{C}.
Informações dadas (tiradas do enunciado e da figura):
  • Comprimento da placa (na direção do escoamento): L=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Largura da placa (perpendicular ao escoamento, área exposta): W=8\\ \mathrm{mm}=0{,}008\\ \mathrm{m}.
  • Potência total dissipada pelo aquecedor: P_{\text{total}}=0{,}5\\ \mathrm{W}. Metade dessa potência vai para cada lado da placa, então a potência por lado é Q_{\text{side}}=0{,}25\\ \mathrm{W}.
  • Temperatura da superfície: T_{s}=32^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar livre: T_{\infty}=20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_{s}-T_{\infty}=12\\ \mathrm{K}.
O enunciado pede uma estimativa; portanto usaremos correlações clássicas de convecção forçada sobre uma placa plana e propriedades do ar à temperatura média (~ 20\!-\!32^\circ\mathrm{C}) aproximadas.

Passo 2

Estratégia física e equação de balanço de energia:
  • Todo o calor gerado por um lado é perdido por convecção para o ar (assumimos radiação desprezível). Portanto a potência por lado é dada por:
Q_{\text{side}} = h \, A \, \Delta T,
onde:
  • h é o coeficiente médio de transferência de calor por convecção (W/m ^2K),
  • A é a área do lado considerado (m ^2),
  • \Delta T é a diferença de temperatura (K).
Calculemos a área de um lado:
A = L \cdot W = 0{,}025\cdot 0{,}008 = 0{,}0002\\ \mathrm{m^2}.
Isolando h da equação de balanço:
h = \frac{Q_{\text{side}}}{A\,\Delta T}.
Substituindo números:
h = \frac{0{,}25}{0{,}0002\cdot 12} = \frac{0{,}25}{0{,}0024} \approx 104{,}17\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
Então precisamos relacionar esse h com a velocidade u_{\infty} usando uma correlação convectiva.

Passo 3

Correlação para convecção sobre placa plana (temperatura de superfície constante, escoamento paralelo ao lado longo):
  • Para escoamento laminar desenvolvendo sobre placa plana, a média da Nusselt sobre o comprimento L é dada por (correlação clássica de Blasius / Sieder–Tate simplificada para constante T_s):
\overline{Nu}_L = 0{,}664\, Re_L^{1/2}\, Pr^{1/3},
onde:
  • \overline{Nu}_L = \dfrac{h L}{k} é o número de Nusselt médio sobre L,
  • Re_L = \dfrac{u_{\infty} L}{\nu} é o número de Reynolds baseado em L,
  • Pr é o número de Prandtl do fluido,
  • k é a condutividade térmica do ar (W/mK),
  • \nu é a viscosidade cinemática do ar (m ^2/s).
Explicação rápida das grandezas:
  • Re_L mede a razão entre transporte por convecção e difusão de momento; transição laminar→turbulento ocorre tipicamente para Re\sim 5\times10^{5} numa placa plana. Iremos verificar depois se estamos em regime laminar.
  • Pr mede a razão entre difusividade de momento e de calor; para ar à temperatura ambiente Pr\approx 0{,}71.
Propriedades do ar (valores aproximados à temperatura média T\approx 27^\circ\mathrm{C}):
  • Condutividade térmica: k \approx 0{,}026\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}.
  • Viscosidade cinemática: \nu \approx 1{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}.
  • Número de Prandtl: Pr \approx 0{,}71.
Colocando \overline{Nu}_L = \dfrac{hL}{k} na correlação:
\frac{hL}{k} = 0{,}664\, Re_L^{1/2}\, Pr^{1/3}.
Isolando Re_L^{1/2}:
Re_L^{1/2} = \frac{hL}{0{,}664\,k\,Pr^{1/3}}.
Calculemos Pr^{1/3}:
Pr^{1/3} = 0{,}71^{1/3} \approx 0{,}892.
Agora substituímos h, L, k e Pr^{1/3}:
Re_L^{1/2} \approx \frac{104{,}17\cdot 0{,}025}{0{,}664\cdot 0{,}026\cdot 0{,}892}.
Façamos a conta em etapas:
  • Numerador: 104{,}17\cdot 0{,}025 = 2{,}60425.
  • Denominador: 0{,}664\cdot 0{,}026\cdot 0{,}892 \approx 0{,}61598.
    Logo
Re_L^{1/2} \approx \frac{2{,}60425}{0{,}61598} \approx 4{,}229\times 10^{1} \approx 169{,}1.
Então
Re_L \approx (169{,}1)^2 \approx 2{,}86\times 10^{4}.

Passo 4

Calcular u_{\infty} a partir de Re_L:
Re_L = \frac{u_{\infty} L}{\nu}\quad\Rightarrow\quad u_{\infty} = \frac{Re_L\,\nu}{L}.
Substituindo números:
u_{\infty} \approx \frac{2{,}86\times 10^{4}\cdot 1{,}5\times 10^{-5}}{0{,}025}.
Calcule:
  • Produto no numerador: 2{,}86\times 10^{4}\cdot 1{,}5\times 10^{-5} \approx 0{,}429.
  • Dividindo por 0{,}025: 0{,}429/0{,}025 \approx 17{,}16\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
u_{\infty} \approx 17{,}2\\ \mathrm{m/s}.
Verificação do regime de escoamento:
  • Re_L\approx 2{,}86\times 10^{4} é muito menor que 5\times 10^{5}, então a suposição de escoamento laminar sobre a placa é consistente e a correlação usada é adequada.

Passo 5

Observações finais e precisão:
  • Os valores de k, \nu e Pr foram usados como aproximações para o ar à temperatura média; alterar ligeiramente esses valores muda pouco a estimativa final.
  • Foi assumido que metade da potência vai para cada lado e que toda essa potência é dissipada por convecção (radiação negligenciada). Essas simplificações são coerentes com uma estimativa de engenharia.

Resposta

u_{\infty}\approx 17{,}2\\ \mathrm{m/s}

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