Uma placa de aquecimento elétrico de comprimento \mathrm{L}=25 \mathrm{~mm} e largura \mathrm{W}= 8 mm é para ser usado como um medidor de velocidade do vento. Vento, com uma temperatura T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} e velocidade u_{\infty} sopra paralelemente ao lado mais longo. A placa é aquecida internamente em ambos os lados por um aquecedor eléctrico que dissipa 0,5 \mathrm{~W} (metade dessa dissipação é prevista para cada lado). A temperatura da superfície é medida na borda de fuga da placa, mas pode ser assumida como sendo constante. Estime a velocidade do vento quando então a temperatura superficial T_{s}=32^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O que o problema pede:
Estimar a velocidade do vento u_{\infty} tal que a placa aquecida mantenha a temperatura superficial T_{s}=32^{\circ}\mathrm{C} quando o ar ambiente tem T_{\infty}=20^{\circ}\mathrm{C}.
Informações dadas (tiradas do enunciado e da figura):
Comprimento da placa (na direção do escoamento): L=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
Largura da placa (perpendicular ao escoamento, área exposta): W=8\\ \mathrm{mm}=0{,}008\\ \mathrm{m}.
Potência total dissipada pelo aquecedor: P_{\text{total}}=0{,}5\\ \mathrm{W}. Metade dessa potência vai para cada lado da placa, então a potência por lado é Q_{\text{side}}=0{,}25\\ \mathrm{W}.
Temperatura da superfície: T_{s}=32^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura do ar livre: T_{\infty}=20^{\circ}\mathrm{C}.
Diferença de temperatura: \Delta T = T_{s}-T_{\infty}=12\\ \mathrm{K}.
O enunciado pede uma estimativa; portanto usaremos correlações clássicas de convecção forçada sobre uma placa plana e propriedades do ar à temperatura média (~20\!-\!32^\circ\mathrm{C}) aproximadas.
Passo 2
Estratégia física e equação de balanço de energia:
Todo o calor gerado por um lado é perdido por convecção para o ar (assumimos radiação desprezível). Portanto a potência por lado é dada por:
Q_{\text{side}} = h \, A \, \Delta T,
onde:
h é o coeficiente médio de transferência de calor por convecção (W/m^2K),
A é a área do lado considerado (m^2),
\Delta T é a diferença de temperatura (K).
Calculemos a área de um lado:
A = L \cdot W = 0{,}025\cdot 0{,}008 = 0{,}0002\\ \mathrm{m^2}.
Isolando h da equação de balanço:
h = \frac{Q_{\text{side}}}{A\,\Delta T}.
Substituindo números:
h = \frac{0{,}25}{0{,}0002\cdot 12} = \frac{0{,}25}{0{,}0024} \approx 104{,}17\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
Então precisamos relacionar esse h com a velocidade u_{\infty} usando uma correlação convectiva.
Passo 3
Correlação para convecção sobre placa plana (temperatura de superfície constante, escoamento paralelo ao lado longo):
Para escoamento laminar desenvolvendo sobre placa plana, a média da Nusselt sobre o comprimento L é dada por (correlação clássica de Blasius / Sieder–Tate simplificada para constante T_s):
\overline{Nu}_L = \dfrac{h L}{k} é o número de Nusselt médio sobre L,
Re_L = \dfrac{u_{\infty} L}{\nu} é o número de Reynolds baseado em L,
Pr é o número de Prandtl do fluido,
k é a condutividade térmica do ar (W/mK),
\nu é a viscosidade cinemática do ar (m^2/s).
Explicação rápida das grandezas:
Re_L mede a razão entre transporte por convecção e difusão de momento; transição laminar→turbulento ocorre tipicamente para Re\sim 5\times10^{5} numa placa plana. Iremos verificar depois se estamos em regime laminar.
Pr mede a razão entre difusividade de momento e de calor; para ar à temperatura ambiente Pr\approx 0{,}71.
Propriedades do ar (valores aproximados à temperatura média T\approx 27^\circ\mathrm{C}):
Condutividade térmica: k \approx 0{,}026\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}.
Produto no numerador: 2{,}86\times 10^{4}\cdot 1{,}5\times 10^{-5} \approx 0{,}429.
Dividindo por 0{,}025: 0{,}429/0{,}025 \approx 17{,}16\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
u_{\infty} \approx 17{,}2\\ \mathrm{m/s}.
Verificação do regime de escoamento:
Re_L\approx 2{,}86\times 10^{4} é muito menor que 5\times 10^{5}, então a suposição de escoamento laminar sobre a placa é consistente e a correlação usada é adequada.
Passo 5
Observações finais e precisão:
Os valores de k, \nu e Pr foram usados como aproximações para o ar à temperatura média; alterar ligeiramente esses valores muda pouco a estimativa final.
Foi assumido que metade da potência vai para cada lado e que toda essa potência é dissipada por convecção (radiação negligenciada). Essas simplificações são coerentes com uma estimativa de engenharia.