A partir da equação geral da condução de calor, obter a expressão para a taxa de transferênciade calor e para a distribuição de temperatura no interior de uma parede plana empregando os seguintes contornos:
Fluxo de calor constante (segunda espécie) na face à esquerda e primeira espécie na direita;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Geometria: uma parede plana de espessura L. Adota-se coordenada x ao longo da espessura, com x=0 na face esquerda e x=L na face direita.
  • Propriedades: condutividade térmica k constante (assumir material homogêneo e isotrópico).
  • Condições de contorno fornecidas:
    • Face esquerda ( x=0): fluxo de calor constante (condição de segunda espécie), isto é, há um fluxo superficial especificado que chamamos de \dot{q}''_0 (unidade \mathrm{W/m^2}).
    • Face direita ( x=L): temperatura especificada (condição de primeira espécie), isto é, T(L)=T_R (onde T_R é uma temperatura conhecida).
  • Situação física assumida: regime estacionário (sem dependência temporal), condução unidimensional no sentido x, sem geração interna de calor volumétrica.
O que o enunciado pede:
  • Obter a expressão para a taxa de transferência de calor (por unidade de área e, se desejar, total).
  • Obter a distribuição de temperatura T(x) dentro da parede.

Passo 2

Escrever a equação geral e simplificá‑la para o caso pedido.
A equação geral da condução de calor (conservação de energia) é
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = k \nabla^2 T + \dot{q}'''
onde
  • \rho é a densidade do material,
  • c é o calor específico,
  • T é a temperatura (função de x e possivelmente de t),
  • k é a condutividade térmica,
  • \dot{q}''' é a geração volumétrica de calor (W/m^3).
Para o nosso caso fazemos as seguintes simplificações (explicando cada uma):
  • Regime estacionário: \partial T/\partial t = 0. Isso elimina o termo temporal.
  • Condução unidimensional (variação só em x): \nabla^2 T = \dfrac{d^2 T}{d x^2}.
  • Sem geração interna: \dot{q}'''=0.
Substituindo, obtemos a ODE simplificada
\frac{d^2 T}{d x^2} = 0.
Esta é a equação diferencial que devemos resolver no intervalo 0\le x\le L.

Passo 3

Resolver a ODE integrando passo a passo e interpretar as constantes de integração.
Integrando uma vez \dfrac{d^2 T}{dx^2}=0 obtemos
\frac{dT}{dx} = C_1,
onde C_1 é constante. Integrando novamente,
T(x) = C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Essas constantes serão determinadas pelas condições de contorno.
Antes de aplicar as condições, lembramos da lei de Fourier unidimensional, que relaciona gradiente de temperatura e fluxo de calor (por unidade de área):
\dot{q}''(x) = -k\frac{dT}{dx}.
Aqui \dot{q}''(x) é o fluxo de calor no plano, positivo no sentido +x (da esquerda para a direita) seguindo a convenção adotada. Essa relação será usada para aplicar a condição de fluxo na face esquerda.

Passo 4

Aplicar a condição de contorno na face esquerda ( x=0) — fluxo constante — para achar C_1.
Pelo enunciado, o fluxo na face esquerda é constante e igual a \dot{q}''_0. Usando Fourier:
\dot{q}''(0)=\dot{q}''_0 = -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}.
Mas \dfrac{dT}{dx}=C_1 em todo x. Portanto
\dot{q}''_0 = -k C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -\frac{\dot{q}''_0}{k}.
Isso mostra que o gradiente de temperatura é constante e fixado pelo fluxo imposto: um fluxo positivo \dot{q}''_0>0 (no sentido +x) implica \dfrac{dT}{dx}<0, ou seja, temperatura decresce com x, o que faz sentido físico.
Substituindo C_1 na expressão geral,
T(x) = -\frac{\dot{q}''_0}{k} x + C_2.

Passo 5

Aplicar a condição de contorno na face direita ( x=L) — temperatura prescrita — para achar C_2.
A condição é T(L)=T_R. Substituindo:
T_R = -\frac{\dot{q}''_0}{k} L + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = T_R + \frac{\dot{q}''_0}{k} L.
Logo a distribuição de temperatura fica
T(x) = T_R + \frac{\dot{q}''_0}{k}\,(L - x).

Passo 6

Interpretar resultados e escrever a taxa de transferência de calor.
  • Distribuição de temperatura: T(x) = T_R + \frac{\dot{q}''_0}{k}\,(L - x).
Verificações rápidas (para gravar na prova): em x=L tem T(L)=T_R (ok); em x=0 tem
T(0)=T_R + \frac{\dot{q}''_0}{k}L.
  • Fluxo de calor por unidade de área: pela condição imposta, o fluxo é constante ao longo da parede e igual a \dot{q}''(x)=\dot{q}''_0. Pela lei de Fourier também pode ser escrito como
\dot{q}''_0 = -k\frac{dT}{dx} = k\,\frac{T(0)-T_R}{L}.
  • Taxa total de transferência de calor (potência) através da parede, para uma área A, é
\dot{Q} = \dot{q}''_0 \, A.

Passo 7

Dicas práticas e observações (para a prova, sem cálculo adicional).
  • Se a condição de fluxo for dada como fluxo no sentido de fora para dentro diferente de nossa convenção, ajuste o sinal de \dot{q}''_0 adequadamente; sempre verifique o sinal usando a lei de Fourier.
  • Quando a condutividade k for constante, a temperatura em regime estacionário sem geração interna é linear em x (veja a forma T(x)=ax+b).
  • Se pedirem em termos de diferença de temperatura conhecida entre faces, use \dot{q}''_0 = k\,(T(0)-T_R)/L.

Resposta

\displaystyle T(x)=T_R+\frac{\dot{q}''_0}{k}\,(L-x)\n
\displaystyle \dot{q}''(x)=\dot{q}''_0\quad\text{(por unidade de área)}á \n
\displaystyle \dot{Q}=\dot{q}''_0\,A\quad\text{(taxa total para área }A\text{)}á

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