A partir da equação geral da condução de calor, obter a expressão para a taxa de transferênciade calor e para a distribuição de temperatura no interior de uma parede plana empregando os seguintes contornos:
Na face à esquerda da parede há uma uma resistência elétrica e na face à direita há um vento a baixa velocidade
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados vamos usar (assunções necessárias).
Pedido: obter (i) a expressão para a taxa de transferência de calor (por unidade de área) e (ii) a distribuição de temperatura no interior de uma parede plana, quando:
na face esquerda da parede há uma resistência elétrica (isto fornece calor à face esquerda), e
na face direita há convecção por vento a baixa velocidade (coeficiente convectivo h e ambiente à temperatura T_\infty).
Assunções que vou usar (explicito porque o enunciado é curto):
condução unidimensional ao longo do eixo x, do lado esquerdo para o direito; tomo x=0 na face esquerda e x=L na face direita;
estado estacionário (temperatura não depende do tempo);
condutividade térmica k constante no material da parede;
não há geração de calor volumétrica dentro da parede (a resistência elétrica fornece calor na superfície x=0, ou alternativamente a face esquerda tem temperatura conhecida — vou tratar os dois casos mais comuns: (A) fluxo térmico prescrito na face esquerda; (B) temperatura da face esquerda conhecida);
sinalagem: definirei \dot{q}'' como o fluxo de calor por unidade de área positivo no sentido +x (ou seja, entrando na parede pela face esquerda e atravessando para a direita).
Variáveis que usarei:
T(x): temperatura no ponto x dentro da parede;
k: condutividade térmica da parede;
L: espessura da parede;
h: coeficiente de convecção na face direita;
T_\infty: temperatura do ar ao redor (vento);
\dot{q}'': fluxo de calor por unidade de área (W/m^2), positivo para +x.
Condições de contorno (escritas agora para referência):
em x=0: existem duas interpretações comuns (vou tratar ambas):
(A) fluxo prescrito: \displaystyle -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=\dot{q}''_0 (o aquecedor fornece um fluxo \dot{q}''_0 para dentro da parede); ou
(B) temperatura prescreta: \displaystyle T(0)=T_s (a face está mantida à temperatura T_s pela resistência);
em x=L (convecção): \displaystyle -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L}=h\bigl(T(L)-T_\infty\bigr).
Passo 2
Equação de condução e sua simplificação para este caso.
A equação geral da condução de calor (1D, com geração volumétrica \dot{q}'''(x)) é
Para o nosso caso: estado estacionário (\partial T/\partial t=0), sem geração volumétrica dentro da parede (\dot{q}'''(x)=0), e k constante. Assim a equação reduz-se a
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0.
Integração dessa equação duas vezes dá a solução geral (função linear):
T(x)=A x + B,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 3
Relação entre gradiente de temperatura e fluxo de calor (Lei de Fourier) e consequência.
A Lei de Fourier em 1D estabelece o fluxo por unidade de área
\dot{q}''(x)=-k\frac{dT}{dx}.
Como \dfrac{d^{2}T}{dx^{2}}=0, o gradiente \dfrac{dT}{dx} é constante e, portanto, o fluxo \dot{q}'' é constante ao longo da parede (mesmo valor em todo x). Vou chamar esse valor simplesmente de \dot{q}''.
Assim
\frac{dT}{dx}=-\frac{\dot{q}''}{k}.
Integrando uma vez para obter T(x):
T(x)= -\frac{\dot{q}''}{k}\,x + T(0),
onde T(0) é a temperatura na face esquerda. Essa forma já é útil: mostra que a distribuição é linear.
Passo 4
Aplicando a condição de contorno convectiva em x=L para relacionar \dot{q}'' e T(0).
Esta expressão é muito importante: mostra como o fluxo que atravessa a parede está ligado à diferença entre a temperatura da face esquerda T(0) e a temperatura ambiente T_\infty, e inclui as “resistências térmicas” associadas à condução e à convecção.
Passo 5
Interpretação como circuito térmico e expressão mais direta (resistências em série).
Reescrevendo a expressão anterior usando resistências térmicas:
resistência à condução da parede por unidade de área: \displaystyle R_{\text{cond}}=\frac{L}{k};
resistência à convecção na face direita por unidade de área: \displaystyle R_{\text{conv}}=\frac{1}{h}.
O fluxo por unidade de área entre a face esquerda e o ambiente é análogo a uma corrente elétrica entre duas temperaturas, então
Esta forma é frequentemente mais intuitiva e aparece muito em provas e exercícios.
Passo 6
Casos úteis para fornecer a resposta final (duas interpretações práticas do enunciado).
Vou apresentar as fórmulas finais nos dois casos comuns que o enunciado pode significar:
Caso A — fluxo prescrito na face esquerda:
Se a resistência elétrica fornece um fluxo conhecido \dot{q}''_0 para dentro da parede (condição de contorno Neumann em x=0):
o fluxo por unidade de área é simplesmente
\dot{q}''=\dot{q}''_0.
a distribuição de temperatura é linear:
T(x)=T(0)-\frac{\dot{q}''_0}{k}\,x,onde T(0) pode ser obtida a partir da condição em x=L (convecção):T(L)=T_\infty+\frac{\dot{q}''_0}{h}, \qquad T(0)=T(L)+\frac{\dot{q}''_0}{k}\,L =T_\infty+\dot{q}''_0\Bigl(\frac{1}{h}+\frac{L}{k}\Bigr).
Caso B — temperatura da face esquerda conhecida (resistência mantém T(0)=T_s):
Se a resistência elétrica mantém a face esquerda à temperatura conhecida T_s (condição Dirichlet):
o fluxo por unidade de área é dado pela “série de resistências”:
nota: T(L)=T_\infty+\dfrac{\dot{q}''}{h}, consistente com a condição convectiva.
Passo 7
Resumo didático rápido (como lembrar na prova).
O procedimento padrão em prova:
reduzir a equação geral ao caso (aqui dá \dfrac{d^{2}T}{dx^{2}}=0);
integrar e usar Lei de Fourier \dot{q}''=-k\,dT/dx para ver que \dot{q}'' é constante e T(x) é linear;
aplicar as condições de contorno (Neumann ou Dirichlet à esquerda; convectiva à direita) para determinar as constantes;
interpretar o resultado como uma série de resistências térmicas se for preciso obter \dot{q}'' a partir de temperaturas conhecidas.
Memorização rápida: parede + convecção à saída → resistência total \dfrac{L}{k}+\dfrac{1}{h}. Fluxo por área = diferença de temperatura dividida por essa resistência.
Resposta
\displaystyle\text{(caso A - fluxo prescrito) }\dot{q}''=\dot{q}''_0,\qquad T(x)=T(0)-\frac{\dot{q}''_0}{k}\,x,\displaystyle T(0)=T_\infty+\dot{q}''_0\Bigl(\frac{1}{h}+\frac{L}{k}\Bigr).
\displaystyle\text{(caso B - face esquerda à temperatura }T_s\text{) }\dot{q}''=\frac{T_s-T_\infty}{\dfrac{L}{k}+\dfrac{1}{h}},\qquad T(x)=T_s-\frac{\dot{q}''}{k}\,x=\;T_\infty+\dot{q}''\Bigl(\frac{1}{h}+\frac{L-x}{k}\Bigr).à