A partir da equação universal de perda de carga, demonstre o passo a passo para obtenção das seguintes expressões:
\begin{array}{ll} D=\left[\frac{f 8 L Q^{2}}{\pi^{2} g h_{f}}\right]^{\frac{1}{5}} & Q=\sqrt{\frac{h_{f} \pi^{2} g D^{5}}{f 8 L}} \\\ h_{f}=\frac{f 8 L Q^{2}}{\pi^{2} g D^{5}} & Q=\frac{\pi D^{2}}{4} \sqrt{\frac{2 g D h_{f}}{f L}} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede que, a partir da equação universal de perda de carga, sejam obtidas fórmulas que relacionam diâmetro, vazão e perda de carga. Dados e o que precisamos obter:
  • Equação universal (forma de Darcy–Weisbach) que vamos usar (esta é a equação fornecida/assumida como ponto de partida):
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}
  • Relação entre vazão Q, velocidade média V e área da seção A (cilíndrica):
Q=A V=\frac{\pi D^{2}}{4}V.
  • Definições das grandezas (para ficar claro):
    • h_{f}: perda de carga (m);
    • f: fator de atrito (adimensional);
    • L: comprimento da tubulação (m);
    • D: diâmetro interno da tubulação (m);
    • V: velocidade média do fluido (m/s);
    • g: aceleração da gravidade (m/s^{2});
    • Q: vazão volumétrica (m^{3}/s).
Objetivos: demonstrar passo a passo as expressões
\begin{array}{ll} D=\left[\dfrac{f 8 L Q^{2}}{\pi^{2} g h_{f}}\right]^{\frac{1}{5}}, & Q=\sqrt{\dfrac{h_{f} \pi^{2} g D^{5}}{f 8 L}}\\[6pt] h_{f}=\dfrac{f 8 L Q^{2}}{\pi^{2} g D^{5}}, & Q=\dfrac{\pi D^{2}}{4}\sqrt{\dfrac{2 g D h_{f}}{f L}}. \end{array}]

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: escrever V em função de Q e D. Da relação de vazão:
Q=\frac{\pi D^{2}}{4}V \quad\Rightarrow\quad V=\frac{4Q}{\pi D^{2}}.
Agora calcule V^{2} (porque aparece na equação de Darcy):
V^{2}=\left(\frac{4Q}{\pi D^{2}}\right)^{2}=\frac{16\,Q^{2}}{\pi^{2}D^{4}}.
Explanação curta: elevando ao quadrado numerador e denominador, 4^{2}=16 e (\pi D^{2})^{2}=\pi^{2}D^{4}.

Passo 3

Substitua V^{2} na equação de Darcy para obter h_{f} em termos de Q e D. A equação original é
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}.
Substituindo V^{2}=\dfrac{16Q^{2}}{\pi^{2}D^{4}}:
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\cdot\frac{16Q^{2}}{\pi^{2}D^{4}}.
Agora simplificamos fatores constantes e potências de D. Multiplicando termos:
h_{f}=\frac{f L 16 Q^{2}}{2g\,\pi^{2}D^{5}}.
Observe que D\cdot D^{4}=D^{5} no denominador. Simplificando 16/2=8, obtemos a forma desejada para h_{f}:
\boxed{\,h_{f}=\dfrac{f\,8\,L\,Q^{2}}{\pi^{2}\,g\,D^{5}}\,}.

Passo 4

A partir da expressão obtida para h_{f}, isolamos D. Começamos com
h_{f}=\frac{f\,8\,L\,Q^{2}}{\pi^{2}\,g\,D^{5}}.
Multiplicando ambos os lados por D^{5} e dividindo por h_{f}:
D^{5}=\frac{f\,8\,L\,Q^{2}}{\pi^{2}\,g\,h_{f}}.
Para obter D tomamos a quinta raiz (ou elevamos à potência 1/5):
\boxed{\,D=\left[\frac{f\,8\,L\,Q^{2}}{\pi^{2}\,g\,h_{f}}\right]^{\frac{1}{5}}\,}.
Explicação: extrair a raiz de ordem 5 é a operação inversa de elevar à quinta potência.

Passo 5

Ainda a partir de D^{5}=\dfrac{f 8 L Q^{2}}{\pi^{2} g h_{f}} podemos isolar Q. Reescrevendo:
Q^{2}=\frac{\pi^{2} g h_{f} D^{5}}{f\,8\,L}.
Tomando raiz quadrada (considerando vazão positiva, Q\ge0):
\boxed{\,Q=\sqrt{\frac{\pi^{2}\,g\,h_{f}\,D^{5}}{f\,8\,L}}\,}.
Observação: esta é a mesma relação que se obtém invertendo a expressão de D e isolando Q.

Passo 6

Agora derive a segunda forma alternativa para Q que envolve \sqrt{\dfrac{2gDh_{f}}{fL}}. Partimos novamente da equação de Darcy original, mas isolando V^{2}. A equação era
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}.
Multiplique ambos os lados por \dfrac{2gD}{fL} para isolar V^{2}:
V^{2}=\frac{2gD\,h_{f}}{fL}.
Agora extraia V:
V=\sqrt{\frac{2gD\,h_{f}}{fL}}.
Use a relação Q=\dfrac{\pi D^{2}}{4}V e substitua V:
Q=\frac{\pi D^{2}}{4}\sqrt{\frac{2gD\,h_{f}}{fL}}.
Portanto:
\boxed{\,Q=\frac{\pi D^{2}}{4}\sqrt{\frac{2gD\,h_{f}}{fL}}\,}.
Comentário: esta forma é útil quando se conhece D e h_{f} e se quer a vazão diretamente sem passar por V isolado.

Passo 7

Resumo rápido (por que cada forma é útil):
  • \,h_{f}=\dfrac{f\,8\,L\,Q^{2}}{\pi^{2}\,g\,D^{5}}\, é a equação de perda de carga escrita explicitamente em função de Q e D.
  • \,D=\left[\dfrac{f\,8\,L\,Q^{2}}{\pi^{2}\,g\,h_{f}}\right]^{1/5}\, é a forma para projetar o diâmetro dado Q e h_{f}.
  • \,Q=\sqrt{\dfrac{\pi^{2}\,g\,h_{f}\,D^{5}}{f\,8\,L}}\, e \,Q=\dfrac{\pi D^{2}}{4}\sqrt{\dfrac{2gD\,h_{f}}{fL}}\, são duas formas equivalentes para Q obtidas por caminhos algébricos distintos (a primeira vem de isolar Q^{2} na expressão de h_{f}; a segunda substitui V expresso pela equação de Darcy).

Resposta

D=\left[\frac{f\,8\,L\,Q^{2}}{\pi^{2}\,g\,h_{f}}\right]^{\frac{1}{5}}
Q=\sqrt{\frac{h_{f}\,\pi^{2}\,g\,D^{5}}{f\,8\,L}}
h_{f}=\frac{f\,8\,L\,Q^{2}}{\pi^{2}\,g\,D^{5}}
Q=\frac{\pi D^{2}}{4}\sqrt{\frac{2 g D h_{f}}{f L}}

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