A partir da equação universal de perda de carga, demonstre o passo a passo para obtenção das seguintes expressões:
Passo 1
O enunciado pede que, a partir da equação universal de perda de carga, sejam obtidas fórmulas que relacionam diâmetro, vazão e perda de carga. Dados e o que precisamos obter:
- Equação universal (forma de Darcy–Weisbach) que vamos usar (esta é a equação fornecida/assumida como ponto de partida):
- Relação entre vazão
, velocidade média e área da seção (cilíndrica):
- Definições das grandezas (para ficar claro):
-
: perda de carga (m); -
: fator de atrito (adimensional); -
: comprimento da tubulação (m); -
: diâmetro interno da tubulação (m); -
: velocidade média do fluido (m/s); -
: aceleração da gravidade (m/s^{2}); -
: vazão volumétrica (m^{3}/s).
-
Objetivos: demonstrar passo a passo as expressões
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: escrever
em função de
e
. Da relação de vazão:
Agora calcule
(porque aparece na equação de Darcy):
Explanação curta: elevando ao quadrado numerador e denominador,
e
.
Passo 3
Substitua
na equação de Darcy para obter
em termos de
e
. A equação original é
Substituindo
:
Agora simplificamos fatores constantes e potências de
. Multiplicando termos:
Observe que
no denominador. Simplificando
, obtemos a forma desejada para
:
Passo 4
A partir da expressão obtida para
, isolamos
. Começamos com
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Para obter
tomamos a quinta raiz (ou elevamos à potência
):
Explicação: extrair a raiz de ordem
é a operação inversa de elevar à quinta potência.
Passo 5
Ainda a partir de
podemos isolar
. Reescrevendo:
Tomando raiz quadrada (considerando vazão positiva,
):
Observação: esta é a mesma relação que se obtém invertendo a expressão de
e isolando
.
Passo 6
Agora derive a segunda forma alternativa para
que envolve
. Partimos novamente da equação de Darcy original, mas isolando
. A equação era
Multiplique ambos os lados por
para isolar
:
Agora extraia
:
Use a relação
e substitua
:
Portanto:
Comentário: esta forma é útil quando se conhece
e
e se quer a vazão diretamente sem passar por
isolado.
Passo 7
Resumo rápido (por que cada forma é útil):
-
é a equação de perda de carga escrita explicitamente em função de e . -
é a forma para projetar o diâmetro dado e . -
e são duas formas equivalentes para obtidas por caminhos algébricos distintos (a primeira vem de isolar na expressão de ; a segunda substitui expresso pela equação de Darcy).