2 A partir das equações de Maxwell demonstre que os campos elétrico e magnético obedecem às equações de onda tridimensional e que a velocidade de propagação é a velocidade da luz.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “A partir das equações de Maxwell, mostra que os campos elétrico E e magnético B satisfazem a equação de onda 3D e que a velocidade de propagação é a da luz.”
Conteúdo: eletromagnetismo, mais precisamente você vai usar as 4 equações de Maxwell no vácuo + uma identidade vetorial do rotacional.
Conteúdo: eletromagnetismo, mais precisamente você vai usar as 4 equações de Maxwell no vácuo + uma identidade vetorial do rotacional.
Passo 2
Escrevendo as equações de Maxwell em vácuo (sem cargas nem correntes):
-
-
-
(Lei de Faraday) -
(Lei de Ampère–Maxwell)
Passo 3
Agora a gente quer uma equação só em E, do tipo “laplaciano de E = algo com segunda derivada em tempo de E”.
Pegamos o rotacional da 3ª equação:
Pegamos o rotacional da 3ª equação:
Aí usamos a identidade vetorial (que você pode achar em qualquer livro de cálculo vetorial):
Passo 4
Como
, a identidade vira
$$-,\nabla^2\mathbf{E} = -,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr)\quad\Longrightarrow\quad
\nabla^2\mathbf{E} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr),. $$
Passo 5
Substitui agora
pela 4ª equação de Maxwell:
$$\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0,\varepsilon_0,\frac{\partial}{\partial t}!\Bigl(\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Bigr)
= \mu_0,\varepsilon_0,\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2},.
\nabla^2\mathbf{E} - \mu_0\varepsilon_0,\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = 0,. $$
Passo 6
O mesmo rolê vale para
: você faz
e aplica
Passo 7
Lembra que a equação de onda genérica em 3D é
Comparando com o que a gente achou, dá
$$\frac{1}{v^2} = \mu_0,\varepsilon_0
\quad\Longrightarrow\quad
v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0,\varepsilon_0}},. $$
E essa é justamente a velocidade da luz no vácuo, .
E essa é justamente a velocidade da luz no vácuo,
Resposta
As equações de Maxwell em vácuo implicam nas equações de onda tridimensionais
e a velocidade de propagação dessas ondas é
$$\displaystyle
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0,\varepsilon_0}},. $$