2 A partir das equações de Maxwell demonstre que os campos elétrico e magnético obedecem às equações de onda tridimensional e que a velocidade de propagação é a velocidade da luz.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “A partir das equações de Maxwell, mostra que os campos elétrico E e magnético B satisfazem a equação de onda 3D e que a velocidade de propagação é a da luz.”
Conteúdo: eletromagnetismo, mais precisamente você vai usar as 4 equações de Maxwell no vácuo + uma identidade vetorial do rotacional.

Passo 2

Escrevendo as equações de Maxwell em vácuo (sem cargas nem correntes):
  1. nabla!cdotE=0
  2. nabla!cdotB=0
  3. nablatimesE=-dfracpartial Bpartial t (Lei de Faraday)
  4. nablatimesB=mu0,varepsilon0,dfracpartial Epartial t (Lei de Ampère–Maxwell)

Passo 3

Agora a gente quer uma equação só em E, do tipo “laplaciano de E = algo com segunda derivada em tempo de E”.
Pegamos o rotacional da 3ª equação:
nablatimes(nablatimesE) ;=; -,partialpartial tl(nablatimesBr),
Aí usamos a identidade vetorial (que você pode achar em qualquer livro de cálculo vetorial):
nablatimes(nablatimesE) = nabla(nabla!cdotE) ;-; nabla^2E,

Passo 4

Como nabla!cdotE=0, a identidade vira
$$-,\nabla^2\mathbf{E} = -,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr)\quad\Longrightarrow\quad
\nabla^2\mathbf{E} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr),. $$

Passo 5

Substitui agora nablatimesB pela 4ª equação de Maxwell:
$$\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0,\varepsilon_0,\frac{\partial}{\partial t}!\Bigl(\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Bigr)
= \mu_0,\varepsilon_0,\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2},. nabla^2E = mu0,varepsilon0,partialpartial t!l(partialEpartial tr) = mu0,varepsilon0,partial^2Epartial t^2, éçã\nabla^2\mathbf{E} - \mu_0\varepsilon_0,\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = 0,. $$

Passo 6

O mesmo rolê vale para B: você faz
nablatimes(nablatimesB) = nabla(nabla!cdotB) - nabla^2B
e aplica nabla!cdotB=0 junto com a 3ª equação para nablatimesE. O resultado sai igualzinho:
nabla^2B - mu0varepsilon0,partial^2Bpartial t^2 = 0,

Passo 7

Lembra que a equação de onda genérica em 3D é
nabla^2F - 1v^2,partial^2Fpartial t^2 = 0,
Comparando com o que a gente achou, dá
$$\frac{1}{v^2} = \mu_0,\varepsilon_0
\quad\Longrightarrow\quad
v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0,\varepsilon_0}},. $$
E essa é justamente a velocidade da luz no vácuo, 1v^2 = mu0,varepsilon0 Longrightarrow v = 1raizmu0,varepsilon0, .

Resposta

As equações de Maxwell em vácuo implicam nas equações de onda tridimensionais
boxed nabla^2E - mu0varepsilon0,partial^2Epartial t^2 = 0 e nabla^2B - mu0varepsilon0,partial^2Bpartial t^2 = 0
e a velocidade de propagação dessas ondas é
$$\displaystyle
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0,\varepsilon_0}},. $$

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