A partir de experimentos em laboratório foi possível a determinação dos parâmetros do modelo reológico da lei da potência para o suco de kiwi contendo 47,3^circ Brix em diversas temperaturas, conforme é apresentado na Tabela a seguir:
rcc hline c $T$ (( ^circ C))
c $K$ ((mPa cdot s^n))
n
k
13^circ C, 28^circ C 41^circ C
4 2780 0.68
10 2287 0.68
15 1740 0.68
20 1247 0.71
25 1146 0.68
30 859 0.71
35 678 0.73
40 654 0.71
45 557 0.73
50 515 0.73
55 467 0.74
60 404 0.75
65 402 0.74
a) Desenvolva uma expressão matemática baseada na equação de Arrhenius para expressar o valor de 53^circ C em função da temperatura.
b) Segundo o modelo desenvolvido, qual o valor de k para e ?

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede é:
Temos uma série de valores de consistência K = A ,exp!l(tfracEaR,Tr) do suco de kiwi medidos em várias temperaturas ln K = ln A + EaR,1T . A gente deve:
  1. Ajustar esses dados a uma equação de Arrhenius do tipo
ou, equivalentemente,
Isso envolve usar transformação logarítmica e achar coeficientes de uma reta (regressão).
2) Com a equação encontrada, calcular para , , e .
Matéria aplicada: reologia (lei da potência) e interpretação/ajuste de dados usando a equação de Arrhenius.
O que vamos precisar:
  • Converter temperaturas de °C para K;
  • Fazer e ;
  • Ajustar uma reta em ;
  • Relacionar e ;
  • Substituir na fórmula final e calcular os valores pedidos.

Passo 2

Primeiro, converte as temperaturas de °C para Kelvin:
T( K) = T(° C) + 273.15
Escolhemos dois pontos para simplificar o ajuste (poderíamos usar todos e fazer regressão linear, mas a ideia é a mesma).
Ponto 1: .
Ponto 2: .

Passo 3

Agora transformamos
xi = 1Ti, yi = ln Ki
Calculando aproximadamente:
x1 = 1277.15approx0.00361, y1 = ln(2780)approx7.93,
x2 = 1338.15approx0.00296, y2 = ln(402)approx6.00
Para ajustar uma reta m = y2 - y1x2 - x1 = 6.00 - 7.930.00296 - 0.00361 approx -1.93-0.00065 approx 2960 , o coeficiente angular é
b = y1 - m,x1 approx 7.93 - 2960cdot0.00361 approx -2.76
E o intercepto

Passo 4

Na forma linear:
ln K = m,1T + b,
comparamos com
ln K = ln A + EaR,1T
Logo
EaR = m approx 2960, ln A = b approx -2.76
Como Ea = Rcdot2960 approx 8.314cdot2960 approx 2.46times10^4;J/mol = 24.6;kJ/mol, , então
A = e^,b = e^-2.76approx0.063
e

Passo 5

A expressão de Arrhenius que encontramos é:
boxed K(T) = 0.063,exp!l(tfrac2960,T,r), T;em Kelvin,
ou, escrevendo K(T) = 0.063;exp!l(tfrac24.6times10^38.314;Tr) explicitamente,

Passo 6

Agora, é só calcular para cada K13 = 0.063;exp!l(2960/286.15r) approx 0.063;exp(10.35) approx 1.97times10^3;mPacdot s^n :
  1. Para K28 approx 0.063;exp(2960/301.15) approx 1.17times10^3;mPacdot s^n : K41 approx 0.063;exp(2960/314.15) approx 7.77times10^2;mPacdot s^n
K53 approx 0.063;exp(2960/326.15) approx 5.43times10^2;mPacdot s^n
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

a) , com em K (ou kJ/mol, ).
b)

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