A partir da expressão de Planck,
, sabendo que
e
determine o valor da constante de Planck,
, e da constante de Boltzmann,
. Dica: Use a integral
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar as constantes de Planck
e de Boltzmann
usando:
- A lei de Planck
2) O valor da constante de Stefan–Boltzmann
- A constante de deslocamento de Wien
4) A dica do integral
Conteúdo envolvido: radiação de corpo negro, integração para chegar na lei de Stefan–Boltzmann, e a lei de Wien (posição do pico). Vamos precisar derivar a expressão de
em função de
e usar
pra fechar o sistema e achar
e
.
Passo 2
(Lei de Stefan–Boltzmann a partir de Planck)
- A irradiância total (energia por área e tempo) de um corpo negro é
porque em cada direção a densidade é
2) Substituindo
$$j*=\pi\int_0\infty \frac{2\pi h c2}{\lambda5\bigl(e^{hc/(\lambda kT)}-1\bigr)},d\lambda
=2\pi^2 h c2\int_0\infty\frac{d\lambda}{\lambda5\bigl(e{hc/(\lambda kT)}-1\bigr)},.
x=\frac{hc}{\lambda kT}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{hc}{kT,x},\quad d\lambda=-\frac{hc}{kT}\frac{dx}{x^2},. $$
A integral vira
$$j*=2\pi2 h c2\int_\infty0\frac{-,\bigl(\tfrac{hc}{kT}\bigr),dx/x2}{\bigl(\tfrac{hc}{kTx}\bigr)5,(e^x-1)}
=2\pi2\frac{(kT)4}{h^3 c2}\int_0\infty\frac{x3,dx}{ex-1},.
\int_0\infty\frac{x3,dx}{ex-1}=\frac{\pi4}{15}, $$
chegamos a
$$j*=\frac{2\pi2(kT)4}{h3c2},\frac{\pi4}{15}
=\underbrace{\frac{2\pi5k4}{15,c2h3}}_{\displaystyle \sigma};T^4,.
\sigma=\frac{2\pi5k4}{15,c2h3}\quad(equação 1).$$
Passo 3
(Lei de Wien)
Pra achar a gente deriva
em função de
e faz zero. O resultado padrão dá uma equação que só depende de
Pra achar
Daí
Como sabemos
, temos
Passo 4
(Resolvendo o sistema)
Temos duas equações:
Temos duas equações:
Da eq. 2:
. Substituindo em 1) dá um único
:
Isolando
:
Depois,
Passo 5
(Substituindo valores numéricos)
Dados:
,
,
,
.
Dados:
- Da eq. 2:
$$\frac{h}{k}=\frac{2{,}8978\times10{-3}\times4{,}965114}{3{,}0\times108}
\approx4{,}79\times10^{-11};s\cdot K,. $$
- Em
substituindo tudo, acha-se
e então
$$h=(h/k),k\approx4{,}79\times10{-11}\times1{,}38\times10{-23}
\approx6{,}63\times10^{-34};J\cdot s,. $$
Resposta
h≈6,63×10^{−34} J·s
k≈1,38×10^{−23} J/K
k≈1,38×10^{−23} J/K