A partir da expressão de Planck, I(lambda)=2 pi h c^2lambda^5(e^h clambda k T-1), sabendo que sigma=5,6704 times 10^-8 Wm^2 cdot K^4 e C0=2,8978 times 10^-3 m cdot K determine o valor da constante de Planck, h, e da constante de Boltzmann, k. Dica: Use a integral integral0^infty x^3 d xe^alpha x-1=pi^415 alpha^4

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar as constantes de Planck h e de Boltzmann k usando:
  1. A lei de Planck
I(lambda)=2pi h c^2lambda^5l(e^hclambda k T-1r)
2) O valor da constante de Stefan–Boltzmann
sigma=5,6704times10^-8;Wm^2,K^4
  1. A constante de deslocamento de Wien
C0=2,8978times10^-3;mcdot K
4) A dica do integral
integral0^inftyx^3,dxe^alpha x-1=pi^415,alpha^4,
Conteúdo envolvido: radiação de corpo negro, integração para chegar na lei de Stefan–Boltzmann, e a lei de Wien (posição do pico). Vamos precisar derivar a expressão de sigma em função de h,k e usar lambdamaxT=C0 pra fechar o sistema e achar h e k.

Passo 2

(Lei de Stefan–Boltzmann a partir de Planck)
  1. A irradiância total (energia por área e tempo) de um corpo negro é
j^*=integral0^infty l[pi,I(lambda)r],dlambda
porque em cada direção a densidade é I(lambda) e, somando as direções, dá um fator pi.
2) Substituindo
$$j*=\pi\int_0\infty \frac{2\pi h c2}{\lambda5\bigl(e^{hc/(\lambda kT)}-1\bigr)},d\lambda
=2\pi^2 h c2\int_0\infty\frac{d\lambda}{\lambda5\bigl(e{hc/(\lambda kT)}-1\bigr)},. j^*=piintegral0^infty 2pi h c^2lambda^5l(e^hc/(lambda kT)-1r),dlambda =2pi^2 h c^2integral0^inftydlambdalambda^5l(e^hc/(lambda kT)-1r), áx=\frac{hc}{\lambda kT}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{hc}{kT,x},\quad d\lambda=-\frac{hc}{kT}\frac{dx}{x^2},. $$
A integral vira
$$j*=2\pi2 h c2\int_\infty0\frac{-,\bigl(\tfrac{hc}{kT}\bigr),dx/x2}{\bigl(\tfrac{hc}{kTx}\bigr)5,(e^x-1)}
=2\pi2\frac{(kT)4}{h^3 c2}\int_0\infty\frac{x3,dx}{ex-1},. x=hclambda kTRightarrow lambda=hckT,x, dlambda=-hckTdxx^2, \int_0\infty\frac{x3,dx}{ex-1}=\frac{\pi4}{15}, $$
chegamos a
$$j*=\frac{2\pi2(kT)4}{h3c2},\frac{\pi4}{15}
=\underbrace{\frac{2\pi5k4}{15,c2h3}}_{\displaystyle \sigma};T^4,. j^*=2pi^2 h c^2integralinfty^0-,l(tfrachckTr),dx/x^2l(tfrachckTxr)^5,(e^x-1) =2pi^2(kT)^4h^3 c^2integral0^inftyx^3,dxe^x-1, \sigma=\frac{2\pi5k4}{15,c2h3}\quad(equação 1).$$

Passo 3

(Lei de Wien)
Pra achar lambdamax a gente deriva I(lambda) em função de lambda e faz zero. O resultado padrão dá uma equação que só depende de
xequivhclambda kTRightarrow xmaxapprox4,965114,
Daí
lambdamaxT=hck,xmaxequiv C0,
Como sabemos C0=2,8978times10^-3,mcdot K, temos
hk=C0,xmaxc(equação 2)çã

Passo 4

(Resolvendo o sistema)
Temos duas equações:
  1. sigma=dfrac2pi^5k^415,c^2h^3
  2. dfrachk=dfracC0,xmaxc
Da eq. 2: h=(h/k),k. Substituindo em 1) dá um único k:
sigma=2pi^5,k^415,c^2l((h/k),kr)^3 =2pi^5,k^415,c^2,(h/k)^3,k^3 =2pi^515,c^2,k(h/k)^3,
Isolando k:
k=sigma;15,c^22pi^5;(h/k)^3,
Depois, h=(h/k),k.

Passo 5

(Substituindo valores numéricos)
Dados:
c=3,0times10^8;m/s,
xmax=4,965114,
C0=2,8978times10^-3;mcdot K,
sigma=5,6704times10^-8;W/m^2K^4.
  1. Da eq. 2:
$$\frac{h}{k}=\frac{2{,}8978\times10{-3}\times4{,}965114}{3{,}0\times108}
\approx4{,}79\times10^{-11};s\cdot K,. $$
  1. Em
hk=2,8978times10^-3times4,9651143,0times10^8 approx4,79times10^-11;scdot K,
substituindo tudo, acha-se
k=15,c^22pi^5,sigma,(h/k)^3
e então
$$h=(h/k),k\approx4{,}79\times10{-11}\times1{,}38\times10{-23}
\approx6{,}63\times10^{-34};J\cdot s,. $$

Resposta

h≈6,63×10^{−34} J·s
k≈1,38×10^{−23} J/K

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