A partir de um gerador síncrono, 4 polos, ligação estrela, 208 \mathrm{~V}, 5 \mathrm{kVA}, 60 \mathrm{~Hz}, X_{s}= 8 \Omega /fase e \mathrm{R}_{ \mathrm{a}} desprezível, calcule:
a) A tensão de excitação E_{g} e o limite de estabilidade P_{\max } quando a máquina entrega potência nominal com fator de potência igual a 0,8 atrasado.
b) Considere que a corrente de campo foi elevada em 20 %, e que em consequência, a tensão E_{g} aumentou na mesma proporção. A potência ativa entregue se manteve constante (pois a potência mecânica não foi alterada). Calcule:
i. a corrente do estator;
ii. o fator de potência;
iii. a potência reativa fornecida pela máquina.
c) A máquina dos itens anteriores funciona agora como motor absorvendo 3 kW da rede com um ajuste da corrente de excitação de forma a manter o fator de potência unitário. Qual a excitação e a corrente do motor nesta situação?
d) Qual o máximo conjugado do exemplo anterior supondo que a corrente de excitação permaneça constante?

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (tudo que o problema dá e o que pede):
Dado:
\begin{aligned} &\text{Número de polos: }4,\\\ &\text{Ligação: estrela},\\\ &V_{LL}=208\\ \mathrm{V},\\\ &S_{\text{nom}}=5\\ \mathrm{kVA},\\\ &f=60\\ \mathrm{Hz},\\\ &X_s=8\\ \Omega\\ (\text{por fase}),\\\ &R_a\\ \text{desprezível}. \end{aligned}úçãí
O que pedem:
a) Quando a máquina entrega a potência nominal com fator de potência 0{,}8 atrasado, calcular:
  • a tensão de excitação \;E_g (por fase) e
  • o limite de estabilidade P_{\max} (total trifásico).
b) Após aumentar a corrente de campo em 20\% (logo |E_g| aumenta 20\%), mantendo a potência ativa entregue constante:
i. calcular a corrente do estator |I_s|;
ii. o fator de potência (valor e se é atrasado/adiantado);
iii. a potência reativa fornecida pela máquina (valor e sinal).
c) Agora a máquina opera como motor, absorvendo 3\\ \mathrm{kW} da rede, com ajuste de excitação para manter fator de potência unitário. Calcular:
  • a excitação \;E_g (por fase) e
  • a corrente do motor |I_s|.
d) Mantendo essa corrente de excitação constante (caso do item c), qual o máximo conjugado (momento) do motor? (dar o valor numérico do torque máximo).
Observações: a máquina é trifásica em estrela — toda conta por fase usa V_\varphi=V_{LL}/\sqrt{3}. Em toda a resolução usarei a equação fasorial fundamental (com R_a desprezível):
\mathbf{E}_g=\mathbf{V}_\varphi + j X_s \mathbf{I}_s.

Passo 2

Cálculos das grandezas básicas (passo a passo, com explicação do porquê e sem pular etapas).
  1. Tensão por fase:
V_\varphi=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}=\frac{208}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.
Explicação: em ligação estrela a tensão de fase é a tensão de linha dividida por \sqrt{3}.
  1. Corrente nominal (linha = fase em estrela) a partir da potência aparente:
I_{\text{nom}}=\frac{S_{\text{nom}}}{\sqrt{3}\,V_{LL}}=\frac{5000}{\sqrt{3}\times 208}\\ \mathrm{A}.
Justificação: potência aparente trifásica S=\sqrt{3} V_{LL} I_{L}.
  1. Potência ativa entregue na condição nominal com \mathrm{pf}=0{,}8 (atrasado):
P_{\text{nom}}=S_{\text{nom}}\times 0{,}8.
Explicação: potência ativa é P=S\cdot\text{pf}.
Agora vou calcular numericamente estes valores (mantendo notação TeX):
Cálculos numéricos:
V_\varphi=\frac{208}{\sqrt{3}}\approx 120{,}062\\ \mathrm{V}.
I_{\text{nom}}=\frac{5000}{\sqrt{3}\times 208}\approx 13{,}887\\ \mathrm{A}.
P_{\text{nom}}=5000\times 0{,}8=4000\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Relembre a teoria necessária (didática, sem pular etapas):
  1. Equação fasorial da máquina síncrona (por fase, com R_a desprezível):
\mathbf{E}_g=\mathbf{V}_\varphi + j X_s \mathbf{I}_s.
Significado: \mathbf{E}_g é a f.e.m. interna (tensão de excitação por fase), \mathbf{V}_\varphi é a tensão terminal por fase (referência, tomo com ângulo zero), X_s é reatância síncrona por fase e \mathbf{I}_s é a corrente de estator por fase (fasor). O termo jX_s\mathbf{I}_s é a queda em quadratura devidas à reatância.
  1. Potência ativa trifásica em termos de fasores:
P=3 V_\varphi I_s \cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre V_\varphi e I_s (pf = \cos\varphi, “atrasado” significa I_s atrasa V_\varphi, ou \varphi>0 e I com ângulo -\varphi se referenciar V em zero).
  1. Limite de estabilidade (potência máxima transmissível = potência máxima elétrica) — relação de potência-ângulo:
P=3\frac{V_\varphi E_g}{X_s}\sin\delta,
onde \delta é o ângulo de torque (diferença de fase entre \mathbf{E}_g e \mathbf{V}_\varphi). O máximo ocorre quando \sin\delta=1, logo
P_{\max}=3\frac{V_\varphi E_g}{X_s}.
Explicação: essa fórmula vem de escrever a potência por fase P_\varphi = \frac{V_\varphi E_g}{X_s}\sin\delta e multiplicar por 3.

Passo 4

Resolução do item (a) — passo a passo.
Dados já obtidos:
V_\varphi\approx 120{,}062\\ \mathrm{V},\quad I_s=13{,}887\\ \mathrm{A},\quad\text{pf}=0{,}8\\ (\text{atrasado}).
O ângulo de defasagem:
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}8)=36{,}8699^\circ.
No referencial com \mathbf{V}_\varphi como V_\varphi\angle 0^\circ, a corrente é
\mathbf{I}_s=I_s\angle (-\varphi)=13{,}887\angle(-36{,}8699^\circ)\\ \mathrm{A}.
Usando a equação fasorial:
\mathbf{E}_g=\mathbf{V}_\varphi + j X_s \mathbf{I}_s.
Calcule jX_s\mathbf{I}_s. Primeiro calcule a magnitude:
X_s I_s = 8\times 13{,}887 =111{,}096\\ \mathrm{V}.
O termo jX_s\mathbf{I}_s tem argumento 90^\circ somado ao argumento de \mathbf{I}_s, logo ângulo 90^\circ -\varphi =53{,}1301^\circ. Em retangulares:
jX_s\mathbf{I}_s =111{,}096\angle 53{,}1301^\circ =111{,}096(\cos53{,}1301^\circ + j\sin53{,}1301^\circ).
Note que \cos53{,}1301^\circ\approx 0{,}6 e \sin53{,}1301^\circ\approx 0{,}8, portanto:
jX_s\mathbf{I}_s \approx 66{,}658 + j\,88{,}877\\ \mathrm{V}.
Somando com \mathbf{V}_\varphi=120{,}062 + j0:
\mathbf{E}_g \approx (120{,}062+66{,}658) + j(0+88{,}877) =186{,}720 + j\,88{,}877\\ \mathrm{V}.
Calculando a magnitude:
|E_g|=\sqrt{186{,}720^2 + 88{,}877^2}\approx 206{,}84\\ \mathrm{V}.
Portanto a tensão de excitação por fase é aproximadamente \;206{,}8\\ \mathrm{V}.
Agora o limite de estabilidade (potência máxima trifásica) usando
P_{\max}=3\frac{V_\varphi E_g}{X_s}.
Substituindo numericamente:
P_{\max}=3\frac{120{,}062\times 206{,}84}{8}\\ \mathrm{W}\approx 9313\\ \mathrm{W}\approx 9{,}31\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Resumo numérico do item (a) (com pequena interpretação):
  • \;E_g por fase ≈ 206{,}8\\ \mathrm{V} (magnitude).
  • P_{\max} (trifásico) ≈ 9{,}31\\ \mathrm{kW}.
    Interpretação: a máquina, ao entregar 4{,}0\\ \mathrm{kW} (caso nominal), está bem abaixo do limite de estabilidade.

Passo 6

Resolução do item (b) — explicando a estratégia: aumentar corrente de campo em 20\% => |E_g| aumenta 20\%. A potência ativa entregue se mantém constante: P=4000\\ \mathrm{W}. Com P fixo podemos determinar a componente em fase de \mathbf{I}_s e a partir da equação fasorial determinar a componente em quadratura, portanto magnitude e fator de potência.
Passo 1: componente em fase de \mathbf{I}_s (real) é determinada por P=3 V_\varphi I_s\cos\varphi. Mantendo P=4000\\ \mathrm{W} e sabendo \cos\varphi desconhecido agora, eu uso diretamente a relação por fase:
P_{\varphi}= \frac{P}{3}=V_\varphi I_{\text{real}},
onde I_{\text{real}}=I_s\cos\varphi (componente em fase, positiva quando corrente entrega potência ativa). Assim:
I_{\text{real}}=\frac{P/3}{V_\varphi}=\frac{4000/3}{120{,}062}\\ \mathrm{A}.
Calculando:
I_{\text{real}}\approx \frac{1333{,}333}{120{,}062}\approx 11{,}110\\ \mathrm{A}.
Observação: essa componente em fase não muda quando a potência ativa fica constante.
Passo 2: escrevemos a equação fasorial em termos de componentes reais e imaginárias. Seja I_s=I_{\text{real}}+j I_{\text{imag}}. Então:
\mathbf{E}_g=\mathbf{V}_\varphi + j X_s \mathbf{I}_s = (V_\varphi - X_s I_{\text{imag}}) + j(X_s I_{\text{real}}).
Isso mostra que a parte imaginária de \mathbf{E}_g é X_s I_{\text{real}} (conhecida) e a parte real é V_\varphi - X_s I_{\text{imag}} (depende de I_{\text{imag}}). A magnitude de \mathbf{E}_g é
|E_g|=\sqrt{(V_\varphi - X_s I_{\text{imag}})^2 + (X_s I_{\text{real}})^2}.
Passo 3: condição do enunciado: |E_g|_{\text{novo}}=1{,}2\,|E_g|_{\text{antigo}}. Temos |E_g|_{\text{antigo}}\approx 206{,}84\\ \mathrm{V} então
|E_g|_{\text{novo}}=1{,}2\times 206{,}84\approx 248{,}21\\ \mathrm{V}.
Substituindo X_s I_{\text{real}}=8\times 11{,}110\approx 88{,}88\\ \mathrm{V} e V_\varphi conhecido, resolvemos para I_{\text{imag}} pela equação:
(V_\varphi - X_s I_{\text{imag}})^2 + (X_s I_{\text{real}})^2 = |E_g|_{\text{novo}}^2.
Isolando I_{\text{imag}}:
V_\varphi - X_s I_{\text{imag}} = \pm\sqrt{|E_g|_{\text{novo}}^2 - (X_s I_{\text{real}})^2}.
Escolhemos o sinal que corresponde à situação física (o valor real de E_g aumenta em relação ao caso anterior, logo a parte real de E_g aumenta; isso indica que a raiz positiva é a física). Calculando numericamente:
\sqrt{|E_g|_{\text{novo}}^2 - (X_s I_{\text{real}})^2}\approx 231{,}729\\ \mathrm{V}.
Então
I_{\text{imag}}=\frac{V_\varphi - 231{,}729}{X_s}=\frac{120{,}062 - 231{,}729}{8}\approx -13{,}958\\ \mathrm{A}.
Significado: componente quadratura negativa (corrente mais atrasada).
Passo 4: agora a magnitude da corrente:
|I_s|=\sqrt{I_{\text{real}}^2 + I_{\text{imag}}^2} =\sqrt{11{,}110^2 + (-13{,}958)^2}\\ \mathrm{A}\approx 17{,}84\\ \mathrm{A}.
Passo 5: fator de potência e sinal:
\cos\varphi=\frac{I_{\text{real}}}{|I_s|}=\frac{11{,}110}{17{,}84}\approx 0{,}623.
O ângulo de corrente é \varphi=\arctan\!\left(\frac{I_{\text{imag}}}{I_{\text{real}}}\right)\approx \arctan\!\left(\frac{-13{,}958}{11{,}110}\right)\approx -51{,}4^\circ. Como a componente imaginária é negativa, a corrente atrasa a tensão (o ângulo é negativo quando tomamos referência V em 0^\circ); portanto o fator de potência é 0{,}623 atrasado.
Passo 6: potência reativa fornecida pela máquina (trifásica). Potência reativa total:
Q=3\cdot(-V_\varphi I_{\text{imag}}).
Explicação do sinal: por definição S=3V_\varphi I_s^*; com I_s=I_{\text{real}}+jI_{\text{imag}} temos Q=-3V_\varphi I_{\text{imag}}. Como I_{\text{imag}} é negativo, Q será positivo — a máquina fornece (exporta) reativos ao sistema. Numérico:
Q= -3\times 120{,}062\times (-13{,}958)\\ \mathrm{VAr}\approx 5032\\ \mathrm{VAr}=5{,}03\\ \mathrm{kVAr}.

Passo 7

Resumo numérico do item (b):
i. Corrente do estator: |I_s|\approx 17{,}84\\ \mathrm{A}.
ii. Fator de potência: \cos\varphi\approx 0{,}623 (atrasado).
iii. Potência reativa fornecida: Q\approx +5{,}03\\ \mathrm{kVAr} (sinal positivo indica fornecimento/exportação de reativos).

Passo 8

Resolução do item (c) — máquina funcionando como motor, absorvendo 3\\ \mathrm{kW} da rede com fator de potência unitário.
Estratégia: para fator unitário, a corrente está em fase com a tensão terminal (ângulo zero). A potência ativa absorvida é P_{\text{abs}}=3000\\ \mathrm{W}. A corrente de linha/fase (módulo, pois ligação estrela) é então:
I_s=\frac{P_{\text{abs}}}{3 V_\varphi}=\frac{3000}{3\times 120{,}062}\\ \mathrm{A}\approx 8{,}333\\ \mathrm{A}.
Interpretação: aqui I_s é a corrente que entra no motor a partir da rede. No modelo fasorial onde usamos \mathbf{E}_g=\mathbf{V}_\varphi + j X_s \mathbf{I}_s com \mathbf{I}_s no sentido “saindo da máquina”, para o motor essa corrente será negativa (pois a corrente efetivamente entra na máquina). Para efetuar o cálculo com sinal correto, basta substituir \mathbf{I}_s = -8{,}333\angle 0^\circ na equação, ou reconhecer que:
\mathbf{E}_g=\mathbf{V}_\varphi + j X_s \mathbf{I}_s = V_\varphi - j X_s I_{\text{abs}}\quad(\text{o sinal menos porque a corrente entra na máquina}).á
Logo a parte real de \mathbf{E}_g é V_\varphi e a parte imaginária é -X_s I_{\text{abs}}. A magnitude de \mathbf{E}_g é:
|E_g|=\sqrt{V_\varphi^2 + (X_s I_{\text{abs}})^2}.
Substituindo numericamente X_s I_{\text{abs}}=8\times 8{,}333=66{,}667\\ \mathrm{V},
|E_g|=\sqrt{120{,}062^2 + 66{,}667^2}\approx 137{,}30\\ \mathrm{V}.
O ângulo de \mathbf{E}_g é negativo (fica atrás de \mathbf{V}_\varphi), o que é coerente para um motor.
Portanto:
  • Excitação por fase |E_g|\approx 137{,}3\\ \mathrm{V}.
  • Corrente do motor |I_s|\approx 8{,}333\\ \mathrm{A} (em fase com a tensão, pf =1).

Passo 9

Resolução do item (d) — qual o máximo conjugado (torque) do exemplo anterior supondo que a corrente de excitação permaneça constante?
Estrutura: o máximo torque corresponde ao máximo de potência elétrica que pode ser desenvolvido/absorvido antes da perda de sincronismo, dado por \sin\delta=1. O P_{\max} trifásico, mantendo |E_g| constante (o valor calculado no item c), é:
P_{\max}=3\frac{V_\varphi E_g}{X_s}.
Substituindo V_\varphi\approx 120{,}062\\ \mathrm{V}, E_g\approx 137{,}30\\ \mathrm{V} e X_s=8\\ \Omega:
P_{\max}=3\frac{120{,}062\times 137{,}30}{8}\\ \mathrm{W}\approx 6182\\ \mathrm{W}.
Agora o torque máximo (conjugado) é
T_{\max}=\frac{P_{\max}}{\omega_m},
onde \omega_m é a velocidade mecânica síncrona em rad/s. Para máquina de 4 polos e f=60\\ \mathrm{Hz}, a velocidade síncrona é
n_s=\frac{120 f}{p}=\frac{120\times 60}{4}=1800\\ \mathrm{rpm}.
Convertendo para rad/s:
\omega_m=\frac{2\pi n_s}{60}=2\pi\cdot 30=60\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 188{,}496\\ \mathrm{rad/s}.
Portanto
T_{\max}=\frac{6182}{188{,}496}\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 32{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

a) E_g \approx 206{,}8\\ \mathrm{V} (por fase)
a) P_{\max} \approx 9{,}31\\ \mathrm{kW}
b i) |I_s| \approx 17{,}84\\ \mathrm{A}
b ii) \text{pf}\approx 0{,}623 (atrasado)
b iii) Q \approx +5{,}03\\ \mathrm{kVAr} (fornecida/exportada)
c) E_g \approx 137{,}3\\ \mathrm{V} (por fase)
c) |I_s| \approx 8{,}333\\ \mathrm{A} (pf =1)
d) T_{\max} \approx 32{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}

Exercícios relacionados