A partir de um gerador síncrono, 4 polos, ligação estrela,
/fase e
desprezível, calcule:
a) A tensão de excitação
e o limite de estabilidade
quando a máquina entrega potência nominal com fator de potência igual a 0,8 atrasado.
b) Considere que a corrente de campo foi elevada em 20 %, e que em consequência, a tensão
aumentou na mesma proporção. A potência ativa entregue se manteve constante (pois a potência mecânica não foi alterada). Calcule:
i. a corrente do estator;
ii. o fator de potência;
iii. a potência reativa fornecida pela máquina.
c) A máquina dos itens anteriores funciona agora como motor absorvendo 3 kW da rede com um ajuste da corrente de excitação de forma a manter o fator de potência unitário. Qual a excitação e a corrente do motor nesta situação?
d) Qual o máximo conjugado do exemplo anterior supondo que a corrente de excitação permaneça constante?
a) A tensão de excitação
b) Considere que a corrente de campo foi elevada em 20 %, e que em consequência, a tensão
i. a corrente do estator;
ii. o fator de potência;
iii. a potência reativa fornecida pela máquina.
c) A máquina dos itens anteriores funciona agora como motor absorvendo 3 kW da rede com um ajuste da corrente de excitação de forma a manter o fator de potência unitário. Qual a excitação e a corrente do motor nesta situação?
d) Qual o máximo conjugado do exemplo anterior supondo que a corrente de excitação permaneça constante?
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos (tudo que o problema dá e o que pede):
Dado:
O que pedem:
a) Quando a máquina entrega a potência nominal com fator de potência atrasado, calcular:
a) Quando a máquina entrega a potência nominal com fator de potência
- a tensão de excitação
(por fase) e - o limite de estabilidade
(total trifásico).
b) Após aumentar a corrente de campo em
(logo
aumenta
), mantendo a potência ativa entregue constante:
i. calcular a corrente do estator ;
ii. o fator de potência (valor e se é atrasado/adiantado);
iii. a potência reativa fornecida pela máquina (valor e sinal).
i. calcular a corrente do estator
ii. o fator de potência (valor e se é atrasado/adiantado);
iii. a potência reativa fornecida pela máquina (valor e sinal).
c) Agora a máquina opera como motor, absorvendo
da rede, com ajuste de excitação para manter fator de potência unitário. Calcular:
- a excitação
(por fase) e - a corrente do motor
.
d) Mantendo essa corrente de excitação constante (caso do item c), qual o máximo conjugado (momento) do motor? (dar o valor numérico do torque máximo).
Observações: a máquina é trifásica em estrela — toda conta por fase usa
. Em toda a resolução usarei a equação fasorial fundamental (com
desprezível):
Passo 2
Cálculos das grandezas básicas (passo a passo, com explicação do porquê e sem pular etapas).
- Tensão por fase:
Explicação: em ligação estrela a tensão de fase é a tensão de linha dividida por
.
- Corrente nominal (linha = fase em estrela) a partir da potência aparente:
Justificação: potência aparente trifásica
.
- Potência ativa entregue na condição nominal com
(atrasado):
Explicação: potência ativa é
.
Agora vou calcular numericamente estes valores (mantendo notação TeX):
Cálculos numéricos:
Passo 3
Relembre a teoria necessária (didática, sem pular etapas):
- Equação fasorial da máquina síncrona (por fase, com
desprezível):
Significado:
é a f.e.m. interna (tensão de excitação por fase),
é a tensão terminal por fase (referência, tomo com ângulo zero),
é reatância síncrona por fase e
é a corrente de estator por fase (fasor). O termo
é a queda em quadratura devidas à reatância.
- Potência ativa trifásica em termos de fasores:
onde
é o ângulo entre
e
(pf =
, “atrasado” significa
atrasa
, ou
e
com ângulo
se referenciar
em zero).
- Limite de estabilidade (potência máxima transmissível = potência máxima elétrica) — relação de potência-ângulo:
onde
é o ângulo de torque (diferença de fase entre
e
). O máximo ocorre quando
, logo
Explicação: essa fórmula vem de escrever a potência por fase
e multiplicar por 3.
Passo 4
Resolução do item (a) — passo a passo.
Dados já obtidos:
O ângulo de defasagem:
No referencial com
como
, a corrente é
Usando a equação fasorial:
Calcule
. Primeiro calcule a magnitude:
O termo
tem argumento
somado ao argumento de
, logo ângulo
. Em retangulares:
Note que
e
, portanto:
Somando com
:
Calculando a magnitude:
Portanto a tensão de excitação por fase é aproximadamente
.
Agora o limite de estabilidade (potência máxima trifásica) usando
Substituindo numericamente:
Passo 5
Resumo numérico do item (a) (com pequena interpretação):
-
por fase ≈ (magnitude). -
(trifásico) ≈ .
Interpretação: a máquina, ao entregar(caso nominal), está bem abaixo do limite de estabilidade.
Passo 6
Resolução do item (b) — explicando a estratégia: aumentar corrente de campo em
=>
aumenta
. A potência ativa entregue se mantém constante:
. Com
fixo podemos determinar a componente em fase de
e a partir da equação fasorial determinar a componente em quadratura, portanto magnitude e fator de potência.
Passo 1: componente em fase de
(real) é determinada por
. Mantendo
e sabendo
desconhecido agora, eu uso diretamente a relação por fase:
onde
(componente em fase, positiva quando corrente entrega potência ativa). Assim:
Calculando:
Observação: essa componente em fase não muda quando a potência ativa fica constante.
Passo 2: escrevemos a equação fasorial em termos de componentes reais e imaginárias. Seja
. Então:
Isso mostra que a parte imaginária de
é
(conhecida) e a parte real é
(depende de
). A magnitude de
é
Passo 3: condição do enunciado:
. Temos
então
Substituindo
e
conhecido, resolvemos para
pela equação:
Isolando
:
Escolhemos o sinal que corresponde à situação física (o valor real de
aumenta em relação ao caso anterior, logo a parte real de
aumenta; isso indica que a raiz positiva é a física). Calculando numericamente:
Então
Significado: componente quadratura negativa (corrente mais atrasada).
Passo 4: agora a magnitude da corrente:
Passo 5: fator de potência e sinal:
O ângulo de corrente é
. Como a componente imaginária é negativa, a corrente atrasa a tensão (o ângulo é negativo quando tomamos referência
em
); portanto o fator de potência é
atrasado.
Passo 6: potência reativa fornecida pela máquina (trifásica). Potência reativa total:
Explicação do sinal: por definição
; com
temos
. Como
é negativo,
será positivo — a máquina fornece (exporta) reativos ao sistema. Numérico:
Passo 7
Resumo numérico do item (b):
i. Corrente do estator: .
ii. Fator de potência: (atrasado).
iii. Potência reativa fornecida: (sinal positivo indica fornecimento/exportação de reativos).
i. Corrente do estator:
ii. Fator de potência:
iii. Potência reativa fornecida:
Passo 8
Resolução do item (c) — máquina funcionando como motor, absorvendo
da rede com fator de potência unitário.
Estratégia: para fator unitário, a corrente está em fase com a tensão terminal (ângulo zero). A potência ativa absorvida é
. A corrente de linha/fase (módulo, pois ligação estrela) é então:
Interpretação: aqui
é a corrente que entra no motor a partir da rede. No modelo fasorial onde usamos
com
no sentido “saindo da máquina”, para o motor essa corrente será negativa (pois a corrente efetivamente entra na máquina). Para efetuar o cálculo com sinal correto, basta substituir
na equação, ou reconhecer que:
Logo a parte real de
é
e a parte imaginária é
. A magnitude de
é:
Substituindo numericamente
,
O ângulo de
é negativo (fica atrás de
), o que é coerente para um motor.
Portanto:
- Excitação por fase
. - Corrente do motor
(em fase com a tensão, pf ).
Passo 9
Resolução do item (d) — qual o máximo conjugado (torque) do exemplo anterior supondo que a corrente de excitação permaneça constante?
Estrutura: o máximo torque corresponde ao máximo de potência elétrica que pode ser desenvolvido/absorvido antes da perda de sincronismo, dado por
. O
trifásico, mantendo
constante (o valor calculado no item c), é:
Substituindo
,
e
:
Agora o torque máximo (conjugado) é
onde
é a velocidade mecânica síncrona em rad/s. Para máquina de
polos e
, a velocidade síncrona é
Convertendo para rad/s:
Portanto
Resposta
a)
(por fase)
a)
a)
b i)
b ii) (atrasado)
b iii) (fornecida/exportada)
b ii)
b iii)
c)
(por fase)
c) (pf
)
c)
d)