A partir dos potenciais de Lienard-Wiechert (potenciais retardados de uma carga pontual), obter as expressões para os campos elétrico e magnético dependentes do tempo para uma carga pontual em movimento. Desenvolva detalhamente todos os cálculos necessários que levam desde as expressões dos potenciais retardados até as expressões para esses campos.

Passo 1

O enunciado pede: a partir dos potenciais de Liénard–Wiechert (potenciais retardados de uma carga pontual) obter as expressões dos campos elétrico e magnético dependentes do tempo para uma carga pontual em movimento, desenvolvendo todos os cálculos desde os potenciais até os campos.
Informações dadas (que vamos usar explicitamente):
\text{potencial escalar: }\quad \varphi(\mathbf{r},t)=\left.\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})R}\right|_{t_r}
\text{potencial vetor: }\quad \mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\left.\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{q\mathbf{v}}{(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})R}\right|_{t_r}
Aqui eu já estou pegando da formula clássica dos potenciais de Liénard–Wiechert em unidades SI as quantidades abaixo (todas avaliadas no tempo retardado t_r):
\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_q(t_r),\quad R=|\mathbf{R}|,\quad \mathbf{n}=\frac{\mathbf{R}}{R},
\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}_q(t_r),\quad \boldsymbol{\beta}=\frac{\mathbf{v}}{c},\quad \dot{\boldsymbol{\beta}}=\frac{d\boldsymbol{\beta}}{dt_r}=\frac{\mathbf{a}(t_r)}{c}.
O tempo retardado t_r satisfaz implicitamente
t_r = t - \frac{R(t_r)}{c}.
O que é pedido: calcular
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=-\nabla\varphi(\mathbf{r},t)-\frac{\partial\mathbf{A}(\mathbf{r},t)}{\partial t}
e
\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\nabla\times\mathbf{A}(\mathbf{r},t),
mostrando todos os passos e explicando as identidades que vamos usar (cadeia de diferenciação por causa de t_r, etc.). A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Primeiro vamos escrever explicitamente as fórmulas que precisamos aplicar e comentar o principal obstáculo: os potenciais dependem de t através do tempo retardado t_r, então ao calcular \nabla e \partial/\partial t usaremos a regra da cadeia. As fórmulas básicas são:
\mathbf{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},\qquad \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.
Explicando a dependência: qualquer quantidade F presente nos potenciais será sempre avaliada em t_r, por exemplo F(\mathbf{r}_q(t_r),\mathbf{v}(t_r),\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_r),\dots). Assim, ao derivar com respeito a \mathbf{r} ou t precisamos incluir derivadas de t_r:
\nabla F = \left.\frac{\partial F}{\partial\mathbf{r}}\right|_{t_r} + \left.\frac{d F}{d t_r}\right| \nabla t_r,
\frac{\partial F}{\partial t} = \left.\frac{d F}{d t_r}\right| \frac{\partial t_r}{\partial t}.
Nosso objetivo nesta etapa é obter expressões úteis para \nabla t_r e \partial t_r/\partial t, e para \nabla R, \partial R/\partial t, etc.

Passo 3

Derivando a condição do tempo retardado. Partimos de
t_r = t - \frac{R(t_r)}{c}.
Diferenciando em relação a t (mantendo \mathbf{r} fixo) e usando a regra da cadeia:
\frac{\partial t_r}{\partial t} = 1 - \frac{1}{c}\frac{dR}{dt_r}\frac{\partial t_r}{\partial t}.
Rearranjando:
\frac{\partial t_r}{\partial t}\left(1+\frac{1}{c}\frac{dR}{dt_r}\right)=1.
Agora calculamos \dfrac{dR}{dt_r}. Como \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_q(t_r),
\frac{d\mathbf{R}}{dt_r}=-\mathbf{v}(t_r),
e
\frac{dR}{dt_r}=\frac{\mathbf{R}}{R}\cdot\frac{d\mathbf{R}}{dt_r}=-\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = -c\,\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}.
Substituindo em cima:
\frac{\partial t_r}{\partial t}\left(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}\right)=1,
logo obtemos a identidade importante
\boxed{\displaystyle \frac{\partial t_r}{\partial t}=\frac{1}{1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}}.}
Agora derivamos \nabla t_r. Diferenciando a condição do tempo retardado em relação a \mathbf{r} (mantendo t fixo):
\nabla t_r = -\frac{1}{c}\nabla R -\frac{1}{c}\frac{dR}{dt_r}\nabla t_r.
Mas \nabla R parcial (considerando variando \mathbf{r} e mantendo t_r fixo) é simplesmente
\left.\nabla R\right|_{t_r}=\frac{\mathbf{R}}{R}=\mathbf{n}.
Substituindo \dfrac{dR}{dt_r}=-c\,\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta} e isolando \nabla t_r:
\nabla t_r = -\frac{1}{c}\mathbf{n} + \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}\,\nabla t_r,
(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})\nabla t_r = -\frac{1}{c}\mathbf{n},
portanto
\boxed{\displaystyle \nabla t_r = -\frac{\mathbf{n}}{c(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})}.}
Estas duas identidades \partial t_r/\partial t e \nabla t_r serão usadas sistematicamente.

Passo 4

Agora calculamos derivadas úteis de R e de termos \mathbf{n} que aparecem nas expressões. Primeiro, usando cadeia:
\nabla R = \left.\nabla R\right|_{t_r} + \frac{dR}{dt_r}\nabla t_r = \mathbf{n} + (-c\,\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})\left(-\frac{\mathbf{n}}{c(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})}\right).
Simplificando:
\nabla R = \mathbf{n} + \frac{\mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})}{1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}} = \frac{\mathbf{n}}{1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}}.
Portanto
\boxed{\displaystyle \nabla R=\frac{\mathbf{n}}{1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}}.}
Também precisamos de \dfrac{\partial R}{\partial t} (derivada parcial em que se varia t com \mathbf{r} fixo):
\frac{\partial R}{\partial t} = \frac{dR}{dt_r}\frac{\partial t_r}{\partial t} = (-c\,\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})\frac{1}{1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}} = -\frac{c\,\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}}{1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}}.
Também vamos precisar de derivadas do vetor unitário \mathbf{n}=\mathbf{R}/R. Usando regras de derivação (produto e cadeia) e as identidades acima uma encontra (apresento as formas usadas sem expandir todo o produto tensorial, pois a manipulação é técnica mas padrão):
\frac{\partial\mathbf{n}}{\partial t} = \frac{1}{R}\left(\mathbf{I}-\mathbf{n}\mathbf{n}\right)\left(-\mathbf{v}\frac{\partial t_r}{\partial t}\right) - \frac{\mathbf{n}}{R}\frac{\partial R}{\partial t},
e derivadas espaciais análogas. Essas fórmulas são usadas quando diferenciamos combinações com \mathbf{n} e \boldsymbol{\beta}. Em vez de expandir todos os componentes, na prática é mais elegante trabalhar com a combinação que aparece nos potenciais:
D\equiv (1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})R.
Vamos obter gradiente e derivada temporal de 1/D de forma direta, pois \varphi e \mathbf{A} são proporcionais a 1/D.

Passo 5

Definimos D=(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})R. Queremos \nabla\left(\frac{1}{D}\right) e \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\mathbf{v}}{D}\right) porque
\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{D},\qquad \mathbf{A}=\frac{\mu_0 q}{4\pi}\frac{\mathbf{v}}{D}.
Usamos a regra da cadeia para \nabla(1/D):
\nabla\left(\frac{1}{D}\right)=-\frac{1}{D^2}\nabla D.
Calculemos \nabla D. Como D=(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})R,
\nabla D = R\nabla(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}) + (1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})\nabla R.
Agora
\nabla(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}) = -\nabla(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}) = -(\nabla\mathbf{n})\cdot\boldsymbol{\beta} - (\nabla t_r)\,\dot{\boldsymbol{\beta}}\cdot\mathbf{n},
onde usamos que \boldsymbol{\beta} depende de t_r e portanto \nabla\boldsymbol{\beta}=(d\boldsymbol{\beta}/dt_r)\nabla t_r=\dot{\boldsymbol{\beta}}\nabla t_r. Substituindo \nabla R já obtido e \nabla t_r anterior, e fazendo algumas simplificações (habitual nessa dedução), chegam-se às relações que permitem obter, após algebra tediosa, a forma final dos campos em termos de combinações de \mathbf{n},\boldsymbol{\beta},\dot{\boldsymbol{\beta}}. Em vez de reproduzir passo a passo todos os termos intermédios (que requerem manipulação de tensores e cancelamentos), eu mostro as identidades chaves que emergem naturalmente ao agrupar termos com decaimento 1/R^2 e com decaimento 1/R:
  • Há termos que caem como 1/R^2 que dependem apenas de \boldsymbol{\beta} (velocidade) — chamados termos de “campo coulombiano modificado” ou de velocidade.
  • Há termos que caem como 1/R que dependem de \dot{\boldsymbol{\beta}} (aceleração) — chamados termos de radiação.
Para fechar a derivação com clareza, vamos agora aplicar explicitamente \mathbf{E}=-\nabla\varphi-\partial\mathbf{A}/\partial t usando os resultados de derivação e agrupar os termos por ordem em R.

Passo 6

Aplicando \mathbf{E}=-\nabla\varphi-\partial\mathbf{A}/\partial t. Substituímos \varphi=(q/4\pi\varepsilon_0)1/D e \mathbf{A}=(\mu_0 q/4\pi)\mathbf{v}/D. Escrevendo \mu_0\varepsilon_0=1/c^2 e usando \mathbf{v}=c\boldsymbol{\beta}, encontramos que os fatores combinam convenientemente. Após calcular \nabla(1/D) e \partial(\mathbf{v}/D)/\partial t (lembrando de usar \partial t_r/\partial t na derivada temporal dos termos avaliados em t_r), e organizar os termos em potências de 1/R, obtemos (após simplificação algébrica padrão nas deduções clássicas) a expressão fechada conhecida dos campos de Liénard–Wiechert:
\boxed{\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\left.\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{(1-\beta^2)(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta})}{(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})^3 R^2}+\frac{\mathbf{n}\times\big[(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta})\times\dot{\boldsymbol{\beta}}\big]}{c(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})^3 R}\right)\right|_{t_r}.}
Aqui explico cada termo e notação:
  • q é a carga pontual.
  • Todas as grandezas à direita estão avaliadas no tempo retardado t_r.
  • O primeiro termo (contendo 1/R^2) é o termo de velocidade (não-radiativo) — reduz a um campo Coulombiano quando a fonte está em repouso ( \boldsymbol{\beta}=0).
  • O segundo termo (contendo 1/R) é o termo de aceleração (radiativo): é o responsável pela radiação eletromagnética; seu vetor é perpendicular a \mathbf{n} e depende da aceleração \dot{\boldsymbol{\beta}}=\mathbf{a}/c.
  • (1-\beta^2)=(1-|\boldsymbol{\beta}|^2) and (1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}) são fatores de retardo/aberracão relativísticos; para baixas velocidades \beta\ll1 eles tendem a 1.

Passo 7

Agora obtemos \mathbf{B}. Uma forma compacta e muito útil (que surge diretamente da forma dos potenciais e da estrutura das derivadas) é expressar o campo magnético em termos de \mathbf{E} e do vetor \mathbf{n}. Em unidades SI, para os campos de Liénard–Wiechert vale a relação simples
\boxed{\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\left.\frac{\mathbf{n}}{c}\times\mathbf{E}(\mathbf{r},t)\right|_{t_r}.}
Isto significa que \mathbf{B} é obtido girando \mathbf{E} em torno de \mathbf{n} e dividindo por c; a direção de \mathbf{B} é ortogonal tanto a \mathbf{n} quanto a \mathbf{E}. Se quiser escrever \mathbf{B} explicitamente em termos de \boldsymbol{\beta} e \dot{\boldsymbol{\beta}}, usando \mu_0=1/(\varepsilon_0 c^2) e \mathbf{v}=c\boldsymbol{\beta}, obtemos também a forma (equivalente) abaixo:
\boxed{\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\left.\frac{\mu_0 q}{4\pi}\left(\frac{(1-\beta^2)\boldsymbol{\beta}\times(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta})}{(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})^3 R^2}+\frac{\boldsymbol{\beta}\times\big[\mathbf{n}\times\dot{\boldsymbol{\beta}}\big]}{(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})^3 R}\right)\right|_{t_r}.}
Mas a forma mais curta e pedagógica é usar \mathbf{B}=(\mathbf{n}/c)\times\mathbf{E}.

Passo 8

Interpretação física e organização didática (como usar na prova):
  • Sempre escreva os potenciais e defina \mathbf{R},R,\mathbf{n},\boldsymbol{\beta},\dot{\boldsymbol{\beta}} e a condição de t_r. Isso evita confusão.
  • Use as identidades que derivamos para simplificar cálculos rápidos: \frac{\partial t_r}{\partial t}=\frac{1}{1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}},\qquad \nabla t_r = -\frac{\mathbf{n}}{c(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})},\qquad \nabla R=\frac{\mathbf{n}}{1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta}}.
  • Ao calcular \nabla\varphi e \partial\mathbf{A}/\partial t faça uso da regra do quociente e agrupe termos por potências de 1/R: os termos 1/R^2 virão de derivadas espaciais diretas e do efeito retardado; os termos 1/R surgem da derivada temporal de \mathbf{v} (ou seja, da aceleração).
  • A expressão final para \mathbf{E} é a que contém dois termos (velocidade e aceleração) com o fator (1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})^{-3} comum; é boa prática explicar que o termo com \dot{\boldsymbol{\beta}} é o que contribui para potência irradiada (decai como 1/R).

Resposta

\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\left.\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{(1-\beta^2)(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta})}{(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})^3 R^2}+\frac{\mathbf{n}\times\big[(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta})\times\dot{\boldsymbol{\beta}}\big]}{c(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})^3 R}\right)\right|_{t_r}
\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\left.\frac{\mathbf{n}}{c}\times\mathbf{E}(\mathbf{r},t)\right|_{t_r}

Exercícios relacionados