A partir dos seguintes potenciais eletrostático em certa região do espaço, determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
V(z)=\frac{2 A}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}, onde A e a são contantes positivas.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial eletrostático
V(z)=\frac{2A}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}},
com A e a constantes positivas, e pede o campo elétrico \mathbf{E}. O conteúdo principal aqui é que, em eletrostática,
\mathbf{E}=-\nabla V.

Passo 2

Como V depende apenas de z, em coordenadas cartesianas temos
\nabla V=\frac{\partial V}{\partial x}\hat{\mathbf{i}} +\frac{\partial V}{\partial y}\hat{\mathbf{j}} +\frac{\partial V}{\partial z}\hat{\mathbf{k}}.
Mas \partial V/\partial x=0 e \partial V/\partial y=0, logo
\nabla V = \frac{dV}{dz}\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de V em relação a z:
\frac{dV}{dz} =\frac{d}{dz}\Bigl(2A\,(z^{2}+a^{2})^{-1/2}\Bigr) =2A\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)\,(z^{2}+a^{2})^{-3/2}\cdot 2z =-\frac{2A\,z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}.

Passo 4

O campo elétrico é
\mathbf{E}=-\nabla V =-\frac{dV}{dz}\,\hat{\mathbf{k}} =-\Bigl(-\frac{2A\,z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\Bigr)\hat{\mathbf{k}} =\frac{2A\,z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{k}}.

Resposta

\mathbf{E}(z) =\frac{2A\,z}{\bigl(z^{2}+a^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{\mathbf{k}}.

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