Uma partícula realiza movimento harmônico amortecido. A constante elástica da mola é 100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}; a constante de amortecimento é 8,0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e a massa é 0,050 \mathrm{~kg}. Se a massa
inicia seu movimento a partir de sua máxima elongação, x=1,5 \mathrm{~m}, no instante t=0, qual é a posição da partícula em t=5 \mathrm{~s} ?
Escolha uma opção:
a. -0,73 \mathrm{~m}
b. 0 m
c. 1,5 \mathrm{~m}
d. 0,73 \mathrm{~m}
e. -1,5 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico amortecido, regido pela equação
m\,\ddot x + b\,\dot x + k\,x = 0,
com k=100, \mathrm{N/m}, b=8{,}0\times10^{-3}, \mathrm{kg\cdot m/s}, m=0{,}050, \mathrm{kg}. A partícula parte de x(0)=1{,}5, \mathrm m com velocidade inicial nula. Queremos x(5\,\mathrm s).

Passo 2

Definimos a taxa de amortecimento
\gamma = \frac b{2m} = \frac{8{,}0\times10^{-3}}{2\cdot0{,}050}=0{,}08\;\mathrm{s^{-1}},
e a frequência natural
\omega_0 = \sqrt{\frac k m}=\sqrt{\frac{100}{0{,}05}}=\sqrt{2000}\approx44{,}72\;\mathrm{rad/s}.
Como \gamma<\omega_0, o regime é subamortecido e a frequência amortecida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\approx\sqrt{2000-0{,}0064}\approx44{,}72\;\mathrm{rad/s}.

Passo 3

A solução geral no regime subamortecido é
x(t)=A\,e^{-\gamma t}\cos\bigl(\omega_d t+\varphi\bigr).
Aplicando as condições x(0)=1{,}5 e \dot x(0)=0, obtemos
A\cos\varphi=1{,}5, \quad -\gamma A\cos\varphi - A\,\omega_d\sin\varphi = 0 \;\Longrightarrow\; \tan\varphi = -\frac\gamma{\omega_d}.
Com \gamma/\omega_d\approx0{,}08/44{,}72\approx1{,}8\times10^{-3}, \varphi\approx -1{,}8\times10^{-3},rad e A\approx1{,}5000.

Passo 4

Portanto
x(t) =1{,}5\,e^{-0{,}08\,t}\cos\bigl(44{,}72\,t - 1{,}8\times10^{-3}\bigr).
Em t=5,s temos o fator de amortecimento
e^{-0{,}08\cdot5}=e^{-0{,}4}\approx0{,}6703
e o argumento do cosseno
44{,}72\cdot5 - 0{,}0018 \approx223{,}60\;\mathrm{rad}.
Reduzindo módulo 2\pi, chega-se a um ângulo \approx3{,}69,rad cujo cosseno vale \approx-0{,}84.

Passo 5

Logo
x(5)\approx 1{,}5\times0{,}6703\times(-0{,}84)\approx -0{,}73\;\mathrm m.

Resposta

-0,73 m (alternativa a)

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