A partir da sequência discreta abaixo faça o que se pede:
x[n]=(12)^n u[n]
Defina a região de convergência;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício é de Transformada Z (conteúdo de sinais e sistemas). A sequência é
x[n] = l(tfrac12r)^n,u[n]
e a gente quer descobrir a Região de Convergência (ROC) da transformada Z de . Para isso, precisaremos usar a fórmula da Transformada Z e a condição de convergência de séries geométricas.

Passo 2

A definição da Transformada Z é
X(z) = sumn=-infty^+infty x[n],z^-n
Como X(z) = sumn=0^infty l(tfrac12r)^n ,z^-n só vale algo pra (por causa de ), o somatório vira

Passo 3

Repare que X(z) = sumn=0^infty l(tfrac12z^-1r)^n . Então a soma é uma série geométrica:
A série geométrica só converge se . Aqui .

Passo 4

Então impomos
l|tfrac12z^-1r| < 1 ;;Longrightarrow;; tfrac12,tfrac1|z| < 1 ;;Longrightarrow;; |z| > tfrac12
Essa condição é exatamente a Região de Convergência da Transformada Z de .

Resposta

A Região de Convergência é
boxed|z| > tfrac12

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