A partir do termo geral, conclua sobre a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} n \cdot \operatorname{sen} \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede que eu conclua sobre a convergência da série cuja soma geral é
\sum_{n=1}^{+\infty} n\cdot \sin\frac{1}{n}.
Informações dadas: o termo geral da série é a_n = n\cdot \sin\frac{1}{n}. A pergunta é se a série converge ou diverge (não foi pedida divisão entre absoluta/condicional, mas devemos concluir sobre convergência em sentido usual).

Passo 2

Vou usar um fato fundamental sobre séries que você precisa ter sempre na prova: se uma série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge, então os termos a_n precisam tender a zero:
\text{se }\sum a_n\\ \text{converge, então }\lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Esse é um teste necessário (mas não suficiente). A ideia é simples: se os termos não vão a zero, as parcelas não ficam pequenas o suficiente para a soma estabilizar, então a série não pode convergir. Portanto, um caminho rápido é calcular \lim_{n\to\infty} a_n: se for diferente de zero (ou não existir), a série diverge imediatamente.

Passo 3

Calculo o limite do termo geral
a_n = n\cdot \sin\frac{1}{n}.
Faço a substituição x=\frac{1}{n}. Quando n\to\infty tem-se x\to 0^+. Reescrevo a_n como
a_n = n\cdot \sin\frac{1}{n} = \frac{\sin x}{x}\quad\text{com }x=\frac{1}{n}.
Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x}.
Agora preciso do limite \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}. Esse é um limite clássico; vou provar de forma elementar usando desigualdades (squeeze theorem). Para x em (0,\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica conhecida
\sin x < x < \tan x.
Como \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}, a desigualdade x<\tan x é equivalente a x\cos x < \sin x. Dividindo as desigualdades adequadamente por x>0 obtemos
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\qquad\text{para }0<x<\tfrac{\pi}{2}.
Agora aplico o teorema do confronto: quando x\to 0 sabemos que \cos x \to 1, logo ambas as funções limite dos lados da desigualdade tendem a 1. Pelo squeeze theorem segue
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.
Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = 1.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0, a condição necessária para convergência de uma série não é satisfeita. Logo a série
\sum_{n=1}^{\infty} n\cdot \sin\frac{1}{n}
não converge. Em linguagem direta: a série diverge porque seus termos não tendem a zero (eles tendem a 1).

Resposta

A série diverge.

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