A partir do termo geral, conclua sobre a convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede que eu conclua sobre a convergência da série cuja soma geral é
Informações dadas: o termo geral da série é
. A pergunta é se a série converge ou diverge (não foi pedida divisão entre absoluta/condicional, mas devemos concluir sobre convergência em sentido usual).
Passo 2
Vou usar um fato fundamental sobre séries que você precisa ter sempre na prova: se uma série
converge, então os termos
precisam tender a zero:
Esse é um teste necessário (mas não suficiente). A ideia é simples: se os termos não vão a zero, as parcelas não ficam pequenas o suficiente para a soma estabilizar, então a série não pode convergir. Portanto, um caminho rápido é calcular
: se for diferente de zero (ou não existir), a série diverge imediatamente.
Passo 3
Calculo o limite do termo geral
Faço a substituição
. Quando
tem-se
. Reescrevo
como
Portanto
Agora preciso do limite
. Esse é um limite clássico; vou provar de forma elementar usando desigualdades (squeeze theorem). Para
em
vale a desigualdade geométrica conhecida
Como
, a desigualdade
é equivalente a
. Dividindo as desigualdades adequadamente por
obtemos
Agora aplico o teorema do confronto: quando
sabemos que
, logo ambas as funções limite dos lados da desigualdade tendem a
. Pelo squeeze theorem segue
Portanto
Passo 4
Como
, a condição necessária para convergência de uma série não é satisfeita. Logo a série
não converge. Em linguagem direta: a série diverge porque seus termos não tendem a zero (eles tendem a
).
Resposta
A série diverge.