o que é impossível porque \pi é irracional e a expressão da direita não pode ser um inteiro. Portanto \cos n\neq 0 para todo n\in\mathbb{N} e os termos a_n estão bem definidos.
Passo 2
Lembrete teórico (essencial para a prova): uma condição necessária para que uma série \sum a_n convirja é que o termo geral tenda a zero:
\text{se }\sum a_n\text{ converge então }a_n\to 0.
Isto é obrigatório: se a_n\not\to 0 a série diverge imediatamente. Não confundir — o recíproco não é verdadeiro (ex.: a série harmônica tem a_n\to0 mas diverge), mas aqui só precisamos da condição necessária.
Passo 3
Aplicando a condição necessária ao nosso caso: temos a_n=\dfrac{n}{\cos n}. Como observado, para todo n vale |\cos n|\le 1 e \cos n\neq 0. Vamos estudar o módulo de a_n:
Usando |\cos n|\le 1 segue que \dfrac{1}{|\cos n|}\ge 1. Multiplicando por n\ge 1 obtemos
|a_n|=\frac{n}{|\cos n|}\ge n.
Isto mostra que |a_n| cresce pelo menos como n; em particular |a_n|\to+\infty quando n\to\infty. Portanto a_n não tende a zero — na verdade seus módulos divergem para infinito.
Passo 5
Como a condição necessária para convergência ( a_n\to 0 ) não é satisfeita (aqui a_n não só não tende a zero como |a_n|\to\infty ), concluímos que a série não pode convergir.