A partir do termo geral, conclua sobre a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{\cos n}

Passo 1

O enunciado pede para concluir sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\cos n}.
Informações dadas e observações iniciais que o enunciado fornece:
a_n=\frac{n}{\cos n}\quad\text{(termo geral).}
Para cada n\in\mathbb{N} temos |\cos n|\le 1. Além disso, \cos n=0 implicaria
n=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{para algum }k\in\mathbb{Z},
o que é impossível porque \pi é irracional e a expressão da direita não pode ser um inteiro. Portanto \cos n\neq 0 para todo n\in\mathbb{N} e os termos a_n estão bem definidos.

Passo 2

Lembrete teórico (essencial para a prova): uma condição necessária para que uma série \sum a_n convirja é que o termo geral tenda a zero:
\text{se }\sum a_n\text{ converge então }a_n\to 0.ã
Isto é obrigatório: se a_n\not\to 0 a série diverge imediatamente. Não confundir — o recíproco não é verdadeiro (ex.: a série harmônica tem a_n\to0 mas diverge), mas aqui só precisamos da condição necessária.

Passo 3

Aplicando a condição necessária ao nosso caso: temos a_n=\dfrac{n}{\cos n}. Como observado, para todo n vale |\cos n|\le 1 e \cos n\neq 0. Vamos estudar o módulo de a_n:
|a_n|=\left|\frac{n}{\cos n}\right|=\frac{n}{|\cos n|}.

Passo 4

Usando |\cos n|\le 1 segue que \dfrac{1}{|\cos n|}\ge 1. Multiplicando por n\ge 1 obtemos
|a_n|=\frac{n}{|\cos n|}\ge n.
Isto mostra que |a_n| cresce pelo menos como n; em particular |a_n|\to+\infty quando n\to\infty. Portanto a_n não tende a zero — na verdade seus módulos divergem para infinito.

Passo 5

Como a condição necessária para convergência ( a_n\to 0 ) não é satisfeita (aqui a_n não só não tende a zero como |a_n|\to\infty ), concluímos que a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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