Classifique as séries abaixo como telescópica
1
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Classificar a série dada como sendo telescópica ou série geométrica.
- Calcular o valor da soma, caso converge.
Informações fornecidas (transcrevo exatamente a série do enunciado):
A variável de soma é
e a soma é de
até
.
Passo 2
Avalio o fator trigonométrico
. Vou usar a identidade de soma de ângulos:
Tomando
e
, obtemos
Sabemos que
para todo inteiro
,
e
. Além disso,
. Portanto
Essa simplificação é importante: o termo trigonométrico vira apenas
.
Passo 3
Substituo
na série:
Agora manipulo o denominador usando propriedades de potências:
. Assim o termo geral fica
Passo 4
Escrevo o termo geral de forma que fique evidente a razão comum:
Logo a série é
Isto é uma série geométrica (cada termo é uma potência de uma razão fixa). A forma geral de uma série geométrica é, por exemplo,
ou
, onde
é a razão comum. Aqui temos
multiplicando
com
.
Passo 5
Condição de convergência para série geométrica:
converge se e somente se
. Verifico a razão encontrada:
Portanto a série converge e posso usar a fórmula da soma de série geométrica. Lembrete da fórmula: para
,
Se tiver um fator multiplicativo
, então
.
Passo 6
Aplico a fórmula com
e
:
Calculo passo a passo:
então
Passo 7
Conclusão final: a série é uma série geométrica (não telescópica) e sua soma converge para
. Força aí — você já conseguiu entender a simplificação do seno e reconhecer que era uma geométrica com razão pequena em módulo, então a soma foi direta!
Resposta
Série geométrica.