Classifique as séries abaixo como telescópica
1
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{2^{n} \cdot \operatorname{sen}(\mathrm{n} \pi+\pi / 2)}{3^{2 n-2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Classificar a série dada como sendo telescópica ou série geométrica.
  2. Calcular o valor da soma, caso converge.
Informações fornecidas (transcrevo exatamente a série do enunciado):
\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{2^{n}\cdot \operatorname{sen}(n\pi+\pi/2)}{3^{2n-2}}\right]
A variável de soma é n e a soma é de n=1 até +\infty.

Passo 2

Avalio o fator trigonométrico \operatorname{sen}(n\pi+\pi/2). Vou usar a identidade de soma de ângulos:
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Tomando a=n\pi e b=\pi/2, obtemos
\sin(n\pi+\pi/2)=\sin(n\pi)\cos(\pi/2)+\cos(n\pi)\sin(\pi/2).
Sabemos que \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n, \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1. Além disso, \cos(n\pi)=(-1)^n. Portanto
\sin(n\pi+\pi/2)=(-1)^n\cdot 1 = (-1)^n.
Essa simplificação é importante: o termo trigonométrico vira apenas (-1)^n.

Passo 3

Substituo \sin(n\pi+\pi/2)=(-1)^n na série:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}\,(-1)^{n}}{3^{2n-2}}.
Agora manipulo o denominador usando propriedades de potências: 3^{2n-2}=3^{2n}/3^2=9^{n}/9. Assim o termo geral fica
\frac{2^{n}(-1)^{n}}{9^{n}/9} = 9\cdot\frac{(-2)^{n}}{9^{n}}.

Passo 4

Escrevo o termo geral de forma que fique evidente a razão comum:
9\cdot\frac{(-2)^{n}}{9^{n}} = 9\left(\frac{-2}{9}\right)^{n}.
Logo a série é
\sum_{n=1}^{\infty} 9\left(\frac{-2}{9}\right)^{n}.
Isto é uma série geométrica (cada termo é uma potência de uma razão fixa). A forma geral de uma série geométrica é, por exemplo, \sum_{n=1}^\infty ar^{n} ou \sum_{n=0}^\infty ar^{n}, onde r é a razão comum. Aqui temos a=9 multiplicando r^{n} com r=-\tfrac{2}{9}.

Passo 5

Condição de convergência para série geométrica: \sum r^{n} converge se e somente se |r|<1. Verifico a razão encontrada:
r = -\frac{2}{9},\qquad |r|=\frac{2}{9}<1.
Portanto a série converge e posso usar a fórmula da soma de série geométrica. Lembrete da fórmula: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Se tiver um fator multiplicativo a, então \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n}=a\cdot\frac{r}{1-r}.

Passo 6

Aplico a fórmula com a=9 e r=-\tfrac{2}{9}:
\sum_{n=1}^{\infty}9\left(\frac{-2}{9}\right)^{n} =9\cdot\frac{-\tfrac{2}{9}}{1-(-\tfrac{2}{9})}.
Calculo passo a passo:
1-(-\tfrac{2}{9})=1+\tfrac{2}{9}=\tfrac{11}{9},
então
9\cdot\frac{-\tfrac{2}{9}}{\tfrac{11}{9}} =9\cdot\left(-\tfrac{2}{9}\cdot\tfrac{9}{11}\right) =9\cdot\left(-\tfrac{2}{11}\right) =-\tfrac{18}{11}.

Passo 7

Conclusão final: a série é uma série geométrica (não telescópica) e sua soma converge para -\tfrac{18}{11}. Força aí — você já conseguiu entender a simplificação do seno e reconhecer que era uma geométrica com razão pequena em módulo, então a soma foi direta!

Resposta

Série geométrica.
-\dfrac{18}{11}

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