(a) A partir dos valores da massa e do raio da Lua, dados no Apêndice C . calcule a aceleração gravitacional na superfície daquele satélite. (b) Qual será o período de um “pêndulo que bate o segundo” (período = 2,0 \mathrm{~s} na superficie da Terra) na supertície lunar?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados irei usar (peguei estes valores do Apêndice C, conforme solicitado).
  • O enunciado pede:
    (a) calcular a aceleração gravitacional na superfície da Lua;
    (b) achar o período de um pêndulo que tem período 2{,}0\\ \mathrm{s} na superfície da Terra quando esse mesmo pêndulo estiver na superfície lunar.
  • Dados que vou usar (peguei do Apêndice C ou são constantes físicas padrão):
    • Massa da Lua: M_{\text{Lua}} = 7{,}35\times10^{22}\\ \mathrm{kg}.
    • Raio da Lua: R_{\text{Lua}} = 1{,}74\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
    • Constante gravitacional: G = 6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
    • Aceleração da gravidade na Terra que vou usar: g_{\text{Terra}} = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O enunciado quer o valor numérico de g na Lua e o novo período do pêndulo na Lua.

Passo 2

Entender e escrever a fórmula para a aceleração gravitacional na superfície de um corpo esférico (aqui a Lua). Conceito e fórmula:
  • A gravidade superficial é a intensidade do campo gravitacional produzido por uma massa M à distância R do centro (aqui, R é o raio da Lua). A fórmula é a lei da gravitação universal aplicada na superfície:
g = \frac{G\,M}{R^{2}}.
  • Explicando as variáveis:
    • g é a aceleração gravitacional na superfície (unidade \mathrm{m/s^{2}}).
    • G é a constante gravitacional universal ( \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}).
    • M é a massa do corpo (aqui M_{\text{Lua}}, em \mathrm{kg}).
    • R é o raio do corpo (aqui R_{\text{Lua}}, em \mathrm{m}).

Passo 3

Calcular numericamente g_{\text{Lua}} usando a fórmula da gravitação e os valores do Apêndice C. Primeiro calculo R_{\text{Lua}}^{2}:
R_{\text{Lua}}^{2} = \bigl(1{,}74\times10^{6}\bigr)^{2} = 1{,}74^{2}\times10^{12} = 3{,}0276\times10^{12}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora calculo o numerador G\,M_{\text{Lua}}:
G\,M_{\text{Lua}} = \bigl(6{,}67430\times10^{-11}\bigr)\bigl(7{,}35\times10^{22}\bigr) = (6{,}67430\cdot7{,}35)\times10^{11}.
Faço a multiplicação 6{,}67430\cdot7{,}35\approx49{,}0551, logo
G\,M_{\text{Lua}} \approx 4{,}905510\times10^{12}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.
Agora divido pelo R^{2}:
g_{\text{Lua}}=\frac{4{,}905510\times10^{12}}{3{,}0276\times10^{12}} \approx 1{,}619\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos
g_{\text{Lua}} \approx 1{,}62\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Comentário prático: esse valor é cerca de 0{,}165 vezes o g da Terra, o que explica porque objetos pesam muito menos na Lua.

Passo 4

Agora tratamos o pêndulo: lembrar e explicar a fórmula do período do pêndulo simples para pequenas oscilações.
  • Para pequenas oscilações (pequeno ângulo), o período T de um pêndulo simples de comprimento L é
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde:
  • T é o período (s),
  • L é o comprimento do pêndulo (m),
  • g é a aceleração gravitacional local ( \mathrm{m/s^{2}}).
  • Explicação rápida: essa fórmula vem da aproximação \sin\theta\approx\theta para pequenos \theta, que transforma o movimento em um MHS com frequência natural \omega=\sqrt{g/L}, e T=2\pi/\omega.

Passo 5

Determinar o comprimento L do pêndulo que “bate o segundo” na Terra (ou seja, T_{\text{Terra}}=2{,}0\\ \mathrm{s}). Reorganizo a fórmula para L:
L = g_{\text{Terra}}\left(\frac{T_{\text{Terra}}}{2\pi}\right)^{2}.
Substituindo g_{\text{Terra}}=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}} e T_{\text{Terra}}=2{,}0\\ \mathrm{s}:
L = 9{,}80\left(\frac{2{,}0}{2\pi}\right)^{2} = 9{,}80\left(\frac{1}{\pi}\right)^{2} = \frac{9{,}80}{\pi^{2}}.
Como \pi^{2}\approx9{,}8696, então
L \approx \frac{9{,}80}{9{,}8696}\approx 0{,}993\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
L \approx 0{,}99\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular o período desse mesmo pêndulo quando estiver na superfície lunar, usando o g_{\text{Lua}} encontrado. Usamos novamente
T_{\text{Lua}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{Lua}}}}.
Substituindo L\approx0{,}9929\\ \mathrm{m} (ou a forma exata 9{,}80/\pi^{2}) e g_{\text{Lua}}\approx1{,}619\\ \mathrm{m/s^{2}}:
T_{\text{Lua}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}9929}{1{,}619}} = 2\pi\sqrt{0{,}6136} \approx 2\pi\cdot0{,}7833 \approx 4{,}92\\ \mathrm{s}.
Uma forma mais curta (e que dá o mesmo resultado) é usar a razão dos períodos:
\frac{T_{\text{Lua}}}{T_{\text{Terra}}}=\sqrt{\frac{g_{\text{Terra}}}{g_{\text{Lua}}}} \quad\Rightarrow\quad T_{\text{Lua}} = T_{\text{Terra}}\sqrt{\frac{g_{\text{Terra}}}{g_{\text{Lua}}}}.
Com T_{\text{Terra}}=2{,}0\\ \mathrm{s}, g_{\text{Terra}}=9{,}80 e g_{\text{Lua}}=1{,}619:
T_{\text{Lua}} = 2{,}0\sqrt{\frac{9{,}80}{1{,}619}}\approx 2{,}0\cdot2{,}46\approx4{,}92\\ \mathrm{s},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\,g_{\text{Lua}} \approx 1{,}62\\ \mathrm{m/s^{2}}
\,T_{\text{Lua}} \approx 4{,}92\\ \mathrm{s}

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