(a) A partir dos valores da massa e do raio da Lua, dados no Apêndice C . calcule a aceleração gravitacional na superfície daquele satélite. (b) Qual será o período de um “pêndulo que bate o segundo” (período
na superficie da Terra) na supertície lunar?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados irei usar (peguei estes valores do Apêndice C, conforme solicitado).
- O enunciado pede:
(a) calcular a aceleração gravitacional na superfície da Lua;
(b) achar o período de um pêndulo que tem períodona superfície da Terra quando esse mesmo pêndulo estiver na superfície lunar. - Dados que vou usar (peguei do Apêndice C ou são constantes físicas padrão):
- Massa da Lua:
. - Raio da Lua:
. - Constante gravitacional:
. - Aceleração da gravidade na Terra que vou usar:
.
- Massa da Lua:
- O enunciado quer o valor numérico de
na Lua e o novo período do pêndulo na Lua.
Passo 2
Entender e escrever a fórmula para a aceleração gravitacional na superfície de um corpo esférico (aqui a Lua). Conceito e fórmula:
- A gravidade superficial é a intensidade do campo gravitacional produzido por uma massa
à distância do centro (aqui, é o raio da Lua). A fórmula é a lei da gravitação universal aplicada na superfície:
- Explicando as variáveis:
-
é a aceleração gravitacional na superfície (unidade ). -
é a constante gravitacional universal ( ). -
é a massa do corpo (aqui , em ). -
é o raio do corpo (aqui , em ).
-
Passo 3
Calcular numericamente
usando a fórmula da gravitação e os valores do Apêndice C. Primeiro calculo
:
Agora calculo o numerador
:
Faço a multiplicação
, logo
Agora divido pelo
:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos
Comentário prático: esse valor é cerca de
vezes o
da Terra, o que explica porque objetos pesam muito menos na Lua.
Passo 4
Agora tratamos o pêndulo: lembrar e explicar a fórmula do período do pêndulo simples para pequenas oscilações.
- Para pequenas oscilações (pequeno ângulo), o período
de um pêndulo simples de comprimento é
onde:
-
é o período (s), -
é o comprimento do pêndulo (m), -
é a aceleração gravitacional local ( ). - Explicação rápida: essa fórmula vem da aproximação
para pequenos , que transforma o movimento em um MHS com frequência natural , e .
Passo 5
Determinar o comprimento
do pêndulo que “bate o segundo” na Terra (ou seja,
). Reorganizo a fórmula para
:
Substituindo
e
:
Como
, então
Arredondando:
Passo 6
Calcular o período desse mesmo pêndulo quando estiver na superfície lunar, usando o
encontrado. Usamos novamente
Substituindo
(ou a forma exata
) e
:
Uma forma mais curta (e que dá o mesmo resultado) é usar a razão dos períodos:
Com
,
e
:
confirmando o resultado anterior.