(a) Queremos medir g deixando um objeto cair exatamente 10 m . Que erro percentual. na medida do tempo da queda, resultaria num erro de 0,1 \% no valor de g ? (b) Com que precisão você tería de medir (em segundos) o tempo que um pêridulo de 10 m de comprimento leva para etetuar 100 oscilações, para que o erro percentual em g fosse o mesmo do item ( a )?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
Pergunta (a): Temos um objeto deixado cair de uma altura de 10\\ \text{m}. Pergunta-se: que erro percentual na medida do tempo de queda resultaria num erro de 0,1\% no valor de g?
Pergunta (b): Um pêndulo de comprimento 10\\ \text{m} realiza 100 oscilações. Pergunta-se: com que precisão (em segundos) deve-se medir o tempo total dessas 100 oscilações para que o erro percentual em g seja o mesmo do item (a)?
Informações dadas / que vamos assumir:
Altura da queda: s=10\\ \text{m}.
Comprimento do pêndulo: L=10\\ \text{m}.
Número de oscilações medidas: N=100.
O enunciado pede erro percentual em g igual a 0,1\%, ou seja, \,0{,}1\%.
Para calcular tempos numéricos vou usar o valor padrão g\approx9{,}8\\ \text{m/s}^2 (isso só para obter as magnitudes dos tempos; a relação de erro não depende do valor numérico de g na forma final).
Passo 2
Entender a relação entre g e o tempo medido na queda livre (aula rápida de cinemática).
Fórmula básica (queda livre, partindo do repouso): s=\tfrac{1}{2} g t^2,
onde:
s é a distância percorrida (em metros),
g é a aceleração da gravidade (em \text{m/s}^2),
t é o tempo de queda (em segundos).
Podemos isolar g nessa fórmula: g=\frac{2s}{t^2}.
Explicação: essa fórmula vem de integrar aceleração constante começando com velocidade inicial zero; é a equação que relaciona deslocamento com aceleração e tempo.
Passo 3
Como o enunciado pede erro percentual, vamos deduzir como um erro na medição do tempo se transforma em erro em g (erro relativo / percentuais). Técnica usada: diferenciação / logaritmo (propagação de erros para funções potenciais).
A partir de g=\frac{2s}{t^2},
tomamos logaritmo e diferenciamos (ou usamos diferenciação direta). Pela regra, uma pequena variação relativa satisfaz aproximadamente: \frac{\Delta g}{g} \approx -2\,\frac{\Delta t}{t}.
Em valores absolutos de erros percentuais (ignorando o sinal): \left|\frac{\Delta g}{g}\right| \approx 2\left|\frac{\Delta t}{t}\right|.
Interpretação didática: como g depende de t como t^{-2}, uma pequena porcentagem de erro em t produz o dobro dessa porcentagem em g.
Passo 4
Aplicar a relação obtida ao item (a).
O enunciado quer \left|\dfrac{\Delta g}{g}\right|=0{,}1\%, ou seja \,0{,}1\%=0{,}001 em fração. Da relação anterior: 0{,}001 = 2\left|\frac{\Delta t}{t}\right|.
Logo \left|\frac{\Delta t}{t}\right| = \frac{0{,}001}{2} = 0{,}0005,
o que em percentagem é 0{,}0005 \times 100\% = 0{,}05\%.
Conclusão do item (a): um erro percentual na medida do tempo de \,0{,}05\% produz um erro de 0{,}1\% em g.
Passo 5
Para ficar prático: calculemos o tempo de queda e a precisão absoluta correspondente (dica útil para a prova: mostrar a magnitude do erro em segundos).
Tempo de queda (usar s=10\\ \text{m} e g=9{,}8\\ \text{m/s}^2): t=\sqrt{\frac{2s}{g}}=\sqrt{\frac{20}{9{,}8}}\approx1{,}428571\\ \text{s}\approx1{,}429\\ \text{s}.
A precisão absoluta requerida em t (a partir de \left|\dfrac{\Delta t}{t}\right|=0{,}0005): \Delta t = 0{,}0005\cdot t \approx 0{,}0005\times1{,}428571\\ \text{s}\approx0{,}000714\\ \text{s}.
Interpretação: para o método da queda única de 10\\ \text{m} seria necessário medir o tempo com precisão da ordem de 7{,}1\times10^{-4}\\ \text{s}, o que é bastante exigente.
Passo 6
Agora o pêndulo (aula rápida de pêndulo simples e propagação de erro).
Fórmula do período de pequeno ângulo para um pêndulo simples: T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde:
T é o período (tempo de uma oscilação),
L é o comprimento do pêndulo,
g é a aceleração da gravidade.
Se medirmos o tempo total \tau de N oscilações, então \tau=N T. Isolando g em função de \tau: g=\frac{4\pi^2 L N^2}{\tau^2}.
Novamente g depende de \tau como \tau^{-2}, então a mesma lei de propagação vale: \left|\frac{\Delta g}{g}\right| \approx 2\left|\frac{\Delta \tau}{\tau}\right|.
Passo 7
Aplicar ao item (b): queremos que \left|\dfrac{\Delta g}{g}\right|=0{,}1\%=0{,}001. Assim \left|\frac{\Delta \tau}{\tau}\right|=\frac{0{,}001}{2}=0{,}0005.
Portanto a fração de erro no tempo total \tau deve ser 0{,}0005 (ou 0{,}05\%), igual ao caso (a) — isso era de se esperar porque ambos os métodos resultam em g\propto t^{-2}.
Passo 8
Calcular numericamente a precisão absoluta exigida em segundos para as 100 oscilações.
Primeiro calcule o período T para L=10\\ \text{m} e g=9{,}8\\ \text{m/s}^2: T=2\pi\sqrt{\frac{10}{9{,}8}}\approx6{,}346\\ \text{s}.
(Detalhe: \sqrt{10/9{,}8}\approx1{,}01015 e 2\pi\approx6{,}283185.)
Tempo total para N=100 oscilações: \tau = N T \approx 100\times6{,}346\\ \text{s}\approx634{,}6\\ \text{s}.
Interpretação física: para medir g com erro percentual 0{,}1\% usando 100 oscilações de um pêndulo de 10\\ \text{m}, basta medir o tempo total com precisão da ordem de 0{,}32\\ \text{s} — muito mais acessível que a exigência da queda única.
Passo 9
Resumo interpretativo e dica de prova (curta e motivadora).
A razão pela qual medir muitas oscilações é vantajoso: o erro absoluto aceitável na medição do tempo total cresce com o número de oscilações (porque \tau fica grande), enquanto o erro percentual exigido permanece o mesmo; por isso, na prática medimos vários ciclos para reduzir a necessidade de uma cronometragem extremamente rápida.
Você conseguiu! A relação central que precisa lembrar é que, quando g depende de um tempo como t^{-2}, o erro relativo em g é o dobro do erro relativo no tempo medido.