Seu peso é 120 lb na calçada. do lado de fora do World Trade Center, em New York. Suponha que você vai agora para o alto de uma das torres, a 1.350 pés de altura. Ignorando a rotação da Terra, de quanto diminui o seu peso, pelo fato de estar um pouco mais distante do centro da Terra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Peso na calçada: \,120\\ \text{lb}.
  • Altura alcançada: \,1350\\ \text{ft} acima do solo (topo da torre).
  • Ignorar a rotação da Terra.
O que se pede:
  • Quanto diminui o peso (em unidades de força, por ex. libras) ao subir \,1350\\ \text{ft}, devido ao aumento da distância até o centro da Terra?

Passo 2

Princípio físico usado (fórmula e significado das variáveis).
A força gravitacional (peso) que a Terra exerce sobre um objeto situado a uma distância \,r do centro da Terra é, pela lei da gravitação universal,
F(r)=\frac{G M m}{r^{2}},
onde:
  • G é a constante gravitacional;
  • M é a massa da Terra;
  • m é a massa do objeto;
  • r é a distância do objeto ao centro da Terra.
Aqui não precisamos dos valores de G, M ou m separadamente porque o peso na superfície \,W_{0} e o peso na altura \,W(h) relacionam-se por proporção com 1/r^{2}. Se R é o raio da Terra e h a altura acima da superfície, então a relação é
W(h)=W_{0}\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2},
onde:
  • W_{0} é o peso na superfície ( =120\\ \text{lb});
  • W(h) é o peso a distância h acima da superfície;
  • R é o raio da Terra;
  • h é \,1350\\ \text{ft} neste problema.

Passo 3

Explicação didática da aproximação para pequenos h.
Quando h é muito menor que R (caso típico para prédios, montanhas, aviões), é conveniente usar a expansão em série (aproximação de Taylor) de
\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2}=\left(1+\frac{h}{R}\right)^{-2}.
Para \varepsilon=\dfrac{h}{R} pequeno vale
(1+\varepsilon)^{-2}\approx 1-2\varepsilon,
porque a expansão é (1+\varepsilon)^{-2}=1-2\varepsilon+3\varepsilon^{2}-\cdots e os termos em \varepsilon^{2} são negligíveis se \varepsilon é muito pequeno.
Logo, para h\ll R,
W(h)\approx W_{0}\big(1-2\frac{h}{R}\big).
A diminuição do peso \Delta W (valor positivo) é
\Delta W = W_{0}-W(h)\approx W_{0}\cdot 2\frac{h}{R}.
Isto é intuitivo: o peso cai aproximadamente em proporção a 2h/R quando se sobe uma pequena fração h/R.

Passo 4

Escolha e conversão do raio da Terra.
Vou usar o raio médio da Terra aproximado por \,R=3959\\ \text{mi}. Converter para pés usando \,1\\ \text{mi}=5280\\ \text{ft}:
R = 3959\\ \text{mi}\times 5280\\ \frac{\text{ft}}{\text{mi}} = 20\,903\,520\\ \text{ft}.
O enunciado deu h=1350\\ \text{ft}, já na mesma unidade, então podemos aplicar a fórmula.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo da diminuição \Delta W.
Calcular a razão \dfrac{h}{R}:
\frac{h}{R}=\frac{1350}{20\,903\,520}\approx 6{,}4572\times10^{-5}.
Dobro dessa razão:
2\frac{h}{R}\approx 2\times 6{,}4572\times10^{-5}=1{,}29144\times10^{-4}.
Agora multiplicar por W_{0}=120\\ \text{lb}:
\Delta W \approx 120\times 1{,}29144\times10^{-4}\approx 0{,}015497\\ \text{lb}.

Passo 6

Converter o resultado para uma unidade mais intuitiva (onças).
Como 1\\ \text{lb}=16\\ \text{oz},
\Delta W \approx 0{,}015497\\ \text{lb}\times 16\\ \frac{\text{oz}}{\text{lb}}\approx 0{,}24795\\ \text{oz}\approx 0{,}25\\ \text{oz}.

Passo 7

Checagem usando a fórmula exata (sem aproximação linear) para ver a diferença é insignificante.
Usando a fórmula exata
W(h)=120\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2}=120\left(1+\frac{h}{R}\right)^{-2},
com \dfrac{h}{R}\approx 6{,}4572\times10^{-5}, o termo de ordem \varepsilon^{2} é da ordem de 10^{-9}, portanto a diferença entre a aproximação e o valor exato é desprezível para nossa precisão; o valor calculado acima é confiável.

Passo 8

Interpretação final e incentivo rápido.
A diminuição do peso ao subir \,1350\\ \text{ft} é extremamente pequena — cerca de um quarto de onça sobre 120\\ \text{lb}. Em termos percentuais:
\frac{\Delta W}{W_{0}}\approx 1{,}29144\times10^{-4}\times 100\%\approx 0{,}0129\%,
praticamente imperceptível numa balança comum. Bom trabalho por se preocupar com detalhe físico — você está no caminho certo!

Resposta

\Delta W \approx 0{,}0155\\ \text{lb}
\Delta W \approx 0{,}25\\ \text{oz}

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