Seu peso é 120 lb na calçada. do lado de fora do World Trade Center, em New York. Suponha que você vai agora para o alto de uma das torres, a 1.350 pés de altura. Ignorando a rotação da Terra, de quanto diminui o seu peso, pelo fato de estar um pouco mais distante do centro da Terra?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Peso na calçada:
. - Altura alcançada:
acima do solo (topo da torre). - Ignorar a rotação da Terra.
O que se pede:
- Quanto diminui o peso (em unidades de força, por ex. libras) ao subir
, devido ao aumento da distância até o centro da Terra?
Passo 2
Princípio físico usado (fórmula e significado das variáveis).
A força gravitacional (peso) que a Terra exerce sobre um objeto situado a uma distância
do centro da Terra é, pela lei da gravitação universal,
onde:
-
é a constante gravitacional; -
é a massa da Terra; -
é a massa do objeto; -
é a distância do objeto ao centro da Terra.
Aqui não precisamos dos valores de
,
ou
separadamente porque o peso na superfície
e o peso na altura
relacionam-se por proporção com
. Se
é o raio da Terra e
a altura acima da superfície, então a relação é
onde:
-
é o peso na superfície ( ); -
é o peso a distância acima da superfície; -
é o raio da Terra; -
é neste problema.
Passo 3
Explicação didática da aproximação para pequenos
.
Quando
é muito menor que
(caso típico para prédios, montanhas, aviões), é conveniente usar a expansão em série (aproximação de Taylor) de
Para
pequeno vale
porque a expansão é
e os termos em
são negligíveis se
é muito pequeno.
Logo, para
,
A diminuição do peso
(valor positivo) é
Isto é intuitivo: o peso cai aproximadamente em proporção a
quando se sobe uma pequena fração
.
Passo 4
Escolha e conversão do raio da Terra.
Vou usar o raio médio da Terra aproximado por
. Converter para pés usando
:
O enunciado deu
, já na mesma unidade, então podemos aplicar a fórmula.
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo da diminuição
.
Calcular a razão
:
Dobro dessa razão:
Agora multiplicar por
:
Passo 6
Converter o resultado para uma unidade mais intuitiva (onças).
Como
,
Passo 7
Checagem usando a fórmula exata (sem aproximação linear) para ver a diferença é insignificante.
Usando a fórmula exata
com
, o termo de ordem
é da ordem de
, portanto a diferença entre a aproximação e o valor exato é desprezível para nossa precisão; o valor calculado acima é confiável.
Passo 8
Interpretação final e incentivo rápido.
A diminuição do peso ao subir
é extremamente pequena — cerca de um quarto de onça sobre
. Em termos percentuais:
praticamente imperceptível numa balança comum. Bom trabalho por se preocupar com detalhe físico — você está no caminho certo!