Passe as Equações Diferenciais Ordinárias para Espaço de Estados.
\ddot{y}+15 \dot{y}+6 y=3 \dot{u}+7 u

Passo 1

O enunciado pede para converter a equação diferencial ordinária
\ddot{y} + 15\dot{y} + 6y = 3\dot{u} + 7u
para uma representação em espaço de estados. Vamos precisar escolher variáveis de estado de ordem um, de modo a remover o termo \dot{u} e obter um sistema da forma
\dot{x} = A\,x + B\,u, \quad y = C\,x + D\,u.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1} = y, \quad x_{2} = \dot{y} - 3\,u.
A escolha de x_{2} inclui um termo em u para eliminar a derivada \dot{u} na dinâmica.

Passo 3

Calculamos \dot{x}_{1} e \dot{x}_{2}:
Como x_{1}=y,
\dot{x}_{1} = \dot{y} = x_{2} + 3\,u.
Como x_{2} = \dot{y} - 3\,u,
\dot{x}_{2} = \ddot{y} - 3\,\dot{u}.
Mas da equação original temos
\ddot{y} = -15\dot{y} - 6y + 3\dot{u} + 7u,
então
\dot{x}_{2} = \bigl(-15\dot{y} - 6y + 3\dot{u} + 7u\bigr) - 3\dot{u} = -15\dot{y} - 6y + 7u.
Substituindo \dot{y}=x_{2}+3u e y=x_{1},
\dot{x}_{2} = -15\,(x_{2} + 3\,u) - 6\,x_{1} + 7\,u = -6\,x_{1} - 15\,x_{2} - 45\,u + 7\,u = -6\,x_{1} - 15\,x_{2} - 38\,u.

Passo 4

Agrupando em forma matricial \dot{x} = A\,x + B\,u, com
x = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix},
temos
\begin{pmatrix} \dot{x}_{1}\\\ \dot{x}_{2} \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -6 & -15 \end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix} x_{1}\\\ x_{2} \end{pmatrix} + \underbrace{\begin{pmatrix} 3\\\\ -38 \end{pmatrix}}_{B}\,u.

Passo 5

Por fim, a saída é y=x_{1}, logo
y = \underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}}_{C} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} + \underbrace{0}_{D}\,u.

Resposta

A representação em espaço de estados é
\dot{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -6 & -15 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 3\\\\ -38 \end{pmatrix} u, \qquad y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x.

Exercícios relacionados