Passe as Equações Diferenciais Ordinárias para Espaço de Estados.
5 \ddot{y}+9 \dot{y}+y=12

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação
5\ddot y + 9\dot y + y = 12
numa representação em espaço de estados. O conteúdo aqui é modelagem de sistemas dinâmicos lineares. Para isso vamos dividir pela constante que multiplica \ddot y, escolher variáveis de estado e escrever as equações matriciais.

Passo 2

Dividindo tudo por 5 obtemos
\ddot y + \frac{9}{5}\dot y + \frac{1}{5}y = \frac{12}{5}.

Passo 3

Definimos as variáveis de estado
x_1 = y, \quad x_2 = \dot y.
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\dot x_1 = x_2
e, isolando \ddot y na equação dividida por 5,
\dot x_2 = \ddot y = -\frac{9}{5}\dot y - \frac{1}{5}y + \frac{12}{5} = -\frac{9}{5}x_2 - \frac{1}{5}x_1 + \frac{12}{5}.

Passo 4

Para enquadrar num sistema forçado com entrada u(t), podemos escrever \tfrac{12}{5} como \tfrac{1}{5}u(t) se definirmos u(t)=12. Assim, as equações em espaço de estados ficam
\begin{pmatrix}\dot x_1 \\[6pt] \dot x_2\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt]-\tfrac{1}{5} & -\tfrac{9}{5}\end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix}x_1 \\[2pt] x_2\end{pmatrix} + \underbrace{\begin{pmatrix}0 \\[4pt]\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}}_{B} u(t),
e a saída y é
y = \underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}}_{C} \begin{pmatrix}x_1 \\\ x_2\end{pmatrix} + \underbrace{0}_{D}\,u(t).]

Resposta

A representação em espaço de estados, com u(t)=12, é
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt]-\tfrac{1}{5} & -\tfrac{9}{5}\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 \\[4pt]\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}.]

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