Passe as Equações Diferenciais Ordinárias para Espaço de Estados. 5 \ddot{y}+9 \dot{y}+y=12
Passo 1
O enunciado pede para transformar a equação
5\ddot y + 9\dot y + y = 12
numa representação em espaço de estados. O conteúdo aqui é modelagem de sistemas dinâmicos lineares. Para isso vamos dividir pela constante que multiplica \ddot y, escolher variáveis de estado e escrever as equações matriciais.
Passo 2
Dividindo tudo por 5 obtemos
\ddot y + \frac{9}{5}\dot y + \frac{1}{5}y = \frac{12}{5}.
Passo 3
Definimos as variáveis de estado
x_1 = y, \quad x_2 = \dot y.
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\dot x_1 = x_2
e, isolando \ddot y na equação dividida por 5,
\dot x_2 = \ddot y = -\frac{9}{5}\dot y - \frac{1}{5}y + \frac{12}{5} = -\frac{9}{5}x_2 - \frac{1}{5}x_1 + \frac{12}{5}.
Passo 4
Para enquadrar num sistema forçado com entrada u(t), podemos escrever \tfrac{12}{5} como \tfrac{1}{5}u(t) se definirmos u(t)=12. Assim, as equações em espaço de estados ficam