Passe as Equações Diferenciais Ordinárias para Espaço de Estados.
\ddot{y}+7 \dot{y}+8 y=6 \ddot{u}+3 \dot{u}+7 u

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\ddot y + 7\dot y + 8y \;=\; 6\ddot u + 3\dot u + 7u
e pede uma forma de espaço de estados. Vamos usar a forma de companheiro (canonical form), definindo estados a partir de y e sua derivada.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão, isolando \ddot y:
\ddot y \;=\;-7\dot y \;-\;8y \;+\;6\ddot u \;+\;3\dot u \;+\;7u.

Passo 3

Definimos os estados
x_1 = y,\qquad x_2 = \dot y.
Então
\dot x_1 = \dot y = x_2,
\dot x_2 = \ddot y = -7x_2 -8x_1 \;+\;6\ddot u +3\dot u +7u.

Passo 4

Escrevendo em forma matricial, tomando como vetor de entradas
\displaystyle w = \begin{pmatrix}u \\\ \dot u \\\ \ddot u\end{pmatrix}, temos
\begin{pmatrix}\dot x_1\\dot x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ -8 & -7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\ 7 & 3 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\dot u\\ddot u\end{pmatrix}.
Como saída escolhemos y = x_1, logo
y = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}.

Resposta

A forma de espaço de estados (entrada expandida) é
\dot x = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ -8 & -7\end{pmatrix}x + \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\ 7 & 3 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\dot u\\ddot u\end{pmatrix}, \qquad y = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}x.

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