Passo 4: A Força Total por Volume. Em um fluido ideal (sem viscosidade), as únicas forças são de pressão e de corpo. Some os resultados vetoriais que você obteve para
e
para encontrar a força total por unidade de volume,
.
Passo 1
O que o enunciado pede: somar as duas forças por unidade de volume encontradas anteriormente —
(força de pressão por volume) e
(força de corpo por volume) — para obter a força total por unidade de volume
.
Informações relevantes (resultado que você já obteve / que usaremos):
Explicação das grandezas (para não deixar dúvidas):
-
é a pressão do fluido (unidade: Pa). -
é a densidade do fluido (unidade: kg/m ). -
é o vetor aceleração da gravidade (unidade: m/s ). -
é o operador gradiente; por exemplo, em coordenadas cartesianas .
Passo 2
Por que
(breve derivação física e matemática, passo a passo):
- Pegue um pequeno elemento cúbico do fluido com volume
. - A pressão age sobre as faces do cubo; na direção
, a face voltada para sofre força (negativa porque aponta em ) e a face em sofre força . - A força resultante em
é - Dividindo por
obtemos a componente por unidade de volume: - Repetindo para
e e juntando vetorialmente:
Essa é a razão física: a força de pressão por volume aponta contra o gradiente de pressão.
Passo 3
Por que
(explicação simples):
- A força de corpo por unidade de volume é a força que atua sobre a massa contida naquele volume. A massa do volume
é . - A força devida à gravidade sobre essa massa é
. - Dividindo por
obtemos a força por unidade de volume:
Interpretando: cada metro cúbico de fluido sente uma força
.
Passo 4
Somando vetorialmente as contribuições (a operação é simplesmente soma de vetores componente a componente):
Substituindo as expressões dos passos anteriores:
Aqui não há álgebra complicada: é soma direta de
com
.
Passo 5
Interpretações úteis para a prova (como usar esse resultado):
- Caso esteja procurando a aceleração resultante por unidade de massa, divida por
: Essa forma aparece no teorema de Euler para fluidos ideais: ela relaciona aceleração e gradiente de pressão. - Caso de equilíbrio hidrostático (fluido em repouso):
, então Exemplo 1D vertical (eixo para cima, ): , que é a famosa relação para variação de pressão com a altura.