Passo 4: A Força Total por Volume. Em um fluido ideal (sem viscosidade), as únicas forças são de pressão e de corpo. Some os resultados vetoriais que você obteve para \vec{f}_{p} e \vec{f}_{g} para encontrar a força total por unidade de volume, \vec{f}_{\text {total }}.

Passo 1

O que o enunciado pede: somar as duas forças por unidade de volume encontradas anteriormente — \vec{f}_{p} (força de pressão por volume) e \vec{f}_{g} (força de corpo por volume) — para obter a força total por unidade de volume \vec{f}_{\text{total}}.
Informações relevantes (resultado que você já obteve / que usaremos):
\vec{f}_{p} = -\nabla p
\vec{f}_{g} = \rho\,\vec{g}
Explicação das grandezas (para não deixar dúvidas):
  • p é a pressão do fluido (unidade: Pa).
  • \rho é a densidade do fluido (unidade: kg/m ^3).
  • \vec{g} é o vetor aceleração da gravidade (unidade: m/s ^2).
  • \nabla é o operador gradiente; por exemplo, em coordenadas cartesianas \nabla p = \left(\frac{\partial p}{\partial x},\frac{\partial p}{\partial y},\frac{\partial p}{\partial z}\right).

Passo 2

Por que \vec{f}_{p} = -\nabla p (breve derivação física e matemática, passo a passo):
  • Pegue um pequeno elemento cúbico do fluido com volume \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.
  • A pressão age sobre as faces do cubo; na direção x, a face voltada para +x sofre força -p(x+\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}A (negativa porque aponta em -\hat{x}) e a face em -x sofre força +p(x)\,\mathrm{d}A.
  • A força resultante em x é F_x = p(x)\,\mathrm{d}A - p(x+\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}A \approx -\frac{\partial p}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}A.
  • Dividindo por \mathrm{d}V=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}A obtemos a componente por unidade de volume: f_{p,x} = -\frac{\partial p}{\partial x}.
  • Repetindo para y e z e juntando vetorialmente: \vec{f}_{p} = -\nabla p.
Essa é a razão física: a força de pressão por volume aponta contra o gradiente de pressão.

Passo 3

Por que \vec{f}_{g} = \rho\,\vec{g} (explicação simples):
  • A força de corpo por unidade de volume é a força que atua sobre a massa contida naquele volume. A massa do volume \mathrm{d}V é \rho\,\mathrm{d}V.
  • A força devida à gravidade sobre essa massa é \rho\,\mathrm{d}V\;\vec{g}.
  • Dividindo por \mathrm{d}V obtemos a força por unidade de volume: \vec{f}_{g} = \rho\,\vec{g}.
Interpretando: cada metro cúbico de fluido sente uma força \rho\vec{g}.

Passo 4

Somando vetorialmente as contribuições (a operação é simplesmente soma de vetores componente a componente):
\vec{f}_{\text{total}} = \vec{f}_{p} + \vec{f}_{g}.
Substituindo as expressões dos passos anteriores:
\vec{f}_{\text{total}} = -\nabla p + \rho\,\vec{g}.
Aqui não há álgebra complicada: é soma direta de -\nabla p com \rho\vec{g}.

Passo 5

Interpretações úteis para a prova (como usar esse resultado):
  • Caso esteja procurando a aceleração resultante por unidade de massa, divida por \rho: \frac{\vec{f}_{\text{total}}}{\rho} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \vec{g}.Essa forma aparece no teorema de Euler para fluidos ideais: ela relaciona aceleração e gradiente de pressão.
  • Caso de equilíbrio hidrostático (fluido em repouso): \vec{f}_{\text{total}}=\vec{0}, então -\nabla p + \rho\,\vec{g} = \vec{0}\quad\Rightarrow\quad \nabla p = \rho\,\vec{g}.Exemplo 1D vertical (eixo z para cima, \vec{g}=-g\hat{z}): \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\rho g, que é a famosa relação para variação de pressão com a altura.

Resposta

\vec{f}_{\text{total}} = -\nabla p + \rho\,\vec{g}

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