Passo 5: Aceleração em um Ponto Fixo (Local). A vazão de água em um cano está sendo reduzida. Em um ponto fixo, a velocidade, que só tem componente x , é dada por
. Qual é a aceleração das partículas de fluido que passam por este ponto, causada apenas pela mudança do escoamento com o tempo? A que termo da derivada material isso corresponde?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Informação: a velocidade no ponto fixo tem apenas componente em
e depende só do tempo: . - Pergunta 1: Qual é a aceleração das partículas de fluido que passam por esse ponto, causada apenas pela mudança do escoamento com o tempo?
- Pergunta 2: A qual termo da derivada material essa aceleração corresponde?
Passo 2
Vamos lembrar o que é aceleração de uma partícula de fluido (explicação passo a passo, do básico). A velocidade de um fluido é um campo vetorial
que depende de posição
e tempo
. A aceleração que uma partícula sente enquanto se move com o fluido é a derivada material (ou derivada convectiva)
Aqui:
-
é a aceleração local: quanto a velocidade no ponto muda com o tempo (mantendo a posição fixa). -
é a aceleração convectiva: mudança de velocidade que a partícula experimenta porque ela se desloca para regiões onde a velocidade espacialmente é diferente.
Vou explicar as notações:é o vetor velocidade, é o operador gradiente espacial, e significa .
Passo 3
Aplicando ao caso dado: como há apenas componente em
, escrevemos o campo velocidade (localmente) como
com
. Primeiro calculamos a aceleração causada apenas pela mudança temporal — isto é a aceleração local
. Como a direção é
,
Agora derivamos
em relação a
:
Logo
Passo 4
Para completar a compreensão, verificamos o termo convectivo para ver se ele contribui. Em fluxo unidimensional (só
) o termo convectivo é
Mas
depende só de
e não de
, isto é,
. Portanto
e assim
Portanto, qualquer aceleração das partículas vinda do movimento espacial (convectiva) é nula neste caso.
Passo 5
Somando termos para obter a derivada material completa:
Mas a pergunta pediu especificamente “causada apenas pela mudança do escoamento com o tempo”: isso é exatamente a aceleração local
, que já calculamos e vale
. Interpretação física: as partículas que passam pelo ponto estão desacelerando no sentido
com aceleração de magnitude
apontando para
.
Resposta
Corresponde ao termo