Passo 5: Aceleração em um Ponto Fixo (Local). A vazão de água em um cano está sendo reduzida. Em um ponto fixo, a velocidade, que só tem componente x , é dada por v_{x}(t)=10-2 t \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é a aceleração das partículas de fluido que passam por este ponto, causada apenas pela mudança do escoamento com o tempo? A que termo da derivada material isso corresponde?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Informação: a velocidade no ponto fixo tem apenas componente em x e depende só do tempo: v_{x}(t)=10-2t\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta 1: Qual é a aceleração das partículas de fluido que passam por esse ponto, causada apenas pela mudança do escoamento com o tempo?
  • Pergunta 2: A qual termo da derivada material essa aceleração corresponde?

Passo 2

Vamos lembrar o que é aceleração de uma partícula de fluido (explicação passo a passo, do básico). A velocidade de um fluido é um campo vetorial \mathbf{v}(\mathbf{x},t) que depende de posição \mathbf{x} e tempo t. A aceleração que uma partícula sente enquanto se move com o fluido é a derivada material (ou derivada convectiva)
\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}.
Aqui:
  • \displaystyle \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} é a aceleração local: quanto a velocidade no ponto muda com o tempo (mantendo a posição fixa).
  • (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} é a aceleração convectiva: mudança de velocidade que a partícula experimenta porque ela se desloca para regiões onde a velocidade espacialmente é diferente.
    Vou explicar as notações: \mathbf{v} é o vetor velocidade, \nabla é o operador gradiente espacial, e \mathbf{v}\cdot\nabla significa v_x\partial/\partial x+v_y\partial/\partial y+v_z\partial/\partial z.

Passo 3

Aplicando ao caso dado: como há apenas componente em x, escrevemos o campo velocidade (localmente) como
\mathbf{v}(\mathbf{x},t)=v_x(t)\,\mathbf{e}_x,
com v_x(t)=10-2t. Primeiro calculamos a aceleração causada apenas pela mudança temporal — isto é a aceleração local \partial\mathbf{v}/\partial t. Como a direção é \mathbf{e}_x,
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=\frac{\partial v_x}{\partial t}\,\mathbf{e}_x.
Agora derivamos v_x(t) em relação a t:
\frac{\partial v_x}{\partial t}=\frac{d}{dt}(10-2t)=-2.
Logo
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=-2\,\mathbf{e}_x\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 4

Para completar a compreensão, verificamos o termo convectivo para ver se ele contribui. Em fluxo unidimensional (só v_x) o termo convectivo é
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}\,\mathbf{e}_x.
Mas v_x depende só de t e não de x, isto é, v_x=v_x(t). Portanto
\frac{\partial v_x}{\partial x}=0,
e assim
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=0.
Portanto, qualquer aceleração das partículas vinda do movimento espacial (convectiva) é nula neste caso.

Passo 5

Somando termos para obter a derivada material completa:
\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=-2\,\mathbf{e}_x+0=-2\,\mathbf{e}_x\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Mas a pergunta pediu especificamente “causada apenas pela mudança do escoamento com o tempo”: isso é exatamente a aceleração local \partial\mathbf{v}/\partial t, que já calculamos e vale -2\,\mathbf{e}_x\\ \mathrm{m\,s^{-2}}. Interpretação física: as partículas que passam pelo ponto estão desacelerando no sentido +x com aceleração de magnitude 2\\ \mathrm{m\,s^{-2}} apontando para -x.

Resposta

\displaystyle \mathbf{a}_{\text{temporal}}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=-2\,\mathbf{e}_x\\ \mathrm{m\,s^{-2}}
Corresponde ao termo \displaystyle \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} (aceleração local) da derivada material.

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