Passo 7: A Matemática da Aceleração Espacial (Convectiva). Vamos quantificar a ideia da questão 6. O escoamento é permanente, mas a velocidade varia no espaço: v_{x}(x)=1+2 x. Uma partícula está se movendo com o fluido.
a) A aceleração da partícula é, por definição, a_{x}=\frac{d v_{x}}{d t}. Mas v_{x} é uma função de x, e x é uma função de t. Use a Regra da Cadeia do Cálculo para escrever a_{x} em termos de \frac{d v_{x}}{d x} e \frac{d x}{d t}.
b) Para uma partícula de fluido, o que é a sua taxa de variação de posição, \frac{d x}{d t} ?
c) Substitua (b) em (a) para encontrar a fórmula da aceleração convectiva a_{x} em função de v_{x} e da sua derivada espacial.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade espacialmente variável \;v_{x}(x)=1+2x\; e define a aceleração da partícula como \;a_{x}=\dfrac{d v_{x}}{d t}\;. As perguntas são:
a) Escrever \;a_{x}\; usando a Regra da Cadeia em termos de \dfrac{d v_{x}}{d x} e \dfrac{d x}{d t}.
b) Determinar o que vale \dfrac{d x}{d t} para uma partícula do fluido.
c) Substituir a resposta de (b) em (a) e obter a fórmula da aceleração convectiva a_{x} em função de v_{x} e da sua derivada espacial; além disso aplicar isso ao caso dado \;v_{x}(x)=1+2x\;.

Passo 2

Lembra da Regra da Cadeia: se temos uma função composta f(g(t)), a derivada em relação a t é
\frac{d}{dt}f(g(t)) = f'(g(t))\cdot g'(t).
Aqui f é a função externa e g(t) a função interna; f'(g(t)) é a derivada de f em relação à sua variável avaliada em g(t), e g'(t) é a derivada da função interna em relação a t. Um exemplo simples: se f(u)=u^2 e u(t)=t^3, então
\frac{d}{dt}(t^3)^2 = \frac{d}{du}(u^2)\Big|_{u=t^3}\cdot\frac{d}{dt}(t^3) = 2(t^3)\cdot 3t^2 = 6t^5.
Isso mostra a ideia: derivada da externa vezes derivada da interna.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia à velocidade que é função de posição, isto é v_x(x(t)), obtemos
a_{x}=\frac{d v_{x}}{d t}=\frac{d v_{x}}{d x}\cdot\frac{d x}{d t}.
Aqui \dfrac{d v_{x}}{d x} é a derivada espacial de v_x e \dfrac{d x}{d t} é a taxa de variação da posição da partícula no tempo.

Passo 4

Agora interpretamos \dfrac{d x}{d t} para uma partícula do fluido. A posição da partícula evolui no tempo seguindo o campo de velocidades; portanto a velocidade da partícula é precisamente a componente do campo de velocidades na direção x. Logo, para uma partícula do fluido
\frac{d x}{d t}=v_{x}.
Intuição: mover-se com o fluido significa que a velocidade da partícula é igual à velocidade local do fluido — se você está em uma folha de papel boiando na água, a razão de variação da sua posição é exatamente a velocidade do fluxo naquele ponto.

Passo 5

Substituindo \dfrac{d x}{d t}=v_{x} na expressão da Cadeia (Passo 3) obtemos a fórmula clássica da aceleração convectiva em 1D:
a_{x} = v_{x}\,\frac{d v_{x}}{d x}.
Explicação física curta: mesmo em escoamento estacionário (independente do tempo em cada ponto fixo), uma partícula pode sentir aceleração porque ela se desloca para regiões onde a velocidade espacialmente varia. Por isso o termo é chamado de “convectivo” — é a convecção da partícula através de um gradiente espacial de velocidade.

Passo 6

Agora usemos a função dada \;v_{x}(x)=1+2x\;. Primeiro calcule a derivada espacial:
\frac{d v_{x}}{d x} = \frac{d}{d x}(1+2x)=2.
Substituindo em a_{x}=v_{x}\dfrac{d v_{x}}{d x} temos
a_{x} = v_{x}\cdot 2 = 2\,v_{x}.
Voltando à expressão em termos de x, usando v_{x}(x)=1+2x,
a_{x} = 2(1+2x)=2+4x.
Um exemplo numérico rápido: em x=0 temos \;a_{x}=2\;; em x=1 temos \;a_{x}=6\;. Isso mostra que a aceleração aumenta conforme a partícula se desloca para x maiores.

Passo 7

Resumo didático: a regra da cadeia transforma a derivada temporal de uma quantidade que depende espacialmente numa derivada espacial vezes a taxa de variação da posição; para uma partícula do fluido essa taxa é a própria velocidade, gerando o termo convectivo v_x \partial_x v_x. No caso linear dado, a derivada espacial é constante, o que simplifica muito as contas.

Resposta

a) \displaystyle a_{x}=\frac{d v_{x}}{d x}\cdot\frac{d x}{d t}.
b) \displaystyle \frac{d x}{d t}=v_{x}.
c) \displaystyle a_{x}=v_{x}\frac{d v_{x}}{d x}. Com \;v_{x}(x)=1+2x\;: \displaystyle a_{x}=2\,v_{x}=2+4x.

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