- Passo 3 (Força Restauradora): Um teorema da gravitação (análogo à Lei de Gauss) afirma que a força gravitacional dentro de uma esfera uniforme a uma distância
do centro é
.
(a) Esta força já tem a forma de uma força restauradora linear,
?
(b) Qual é a “constante de mola efetiva” da gravidade terrestre?
(a) Esta força já tem a forma de uma força restauradora linear,
(b) Qual é a “constante de mola efetiva” da gravidade terrestre?
Passo 1
O enunciado dá a expressão da força gravitacional dentro de uma esfera uniforme, a uma distância
do centro:
As perguntas são:
(a) Esta força já tem a forma de uma força restauradora linear, isto é, da forma ?
(b) Qual é a “constante de mola efetiva” da gravidade terrestre?
(a) Esta força já tem a forma de uma força restauradora linear, isto é, da forma
(b) Qual é a “constante de mola efetiva” da gravidade terrestre?
Informações relevantes fornecidas:
(constante gravitacional),
(massa da esfera, aqui a Terra),
(massa do corpo sujeito à força),
(raio da esfera), e a dependência linear em
explícita na fórmula acima.
Passo 2
Vamos entender o que é uma força restauradora linear (grosseiramente, a forma de uma mola de Hooke). A Lei de Hooke diz que a força elástica de uma mola ideal é proporcional ao deslocamento e dirigida para o ponto de equilíbrio:
Aqui:
é a constante da mola (unidade
),
é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (unidade
),
e o sinal negativo indica que a força aponta no sentido de reduzir (restauradora).
e o sinal negativo indica que a força aponta no sentido de reduzir
Para reconhecer uma força como “linear restauradora” basta ver se ela é proporcional a
e tem sinal que aponta para o centro (negativo para deslocamento positivo): ou seja, ter a forma
.
Passo 3
Comparemos a forma dada por
com a forma de Hooke. A expressão dada é
Isto é exatamente da forma
com
Portanto, em termos puramente formais, a força é linear em
e tem o sinal correto para ser restauradora.
Passo 4
Comentário importante (isso ajuda na prova): embora a forma seja a mesma, observe uma diferença física entre uma mola e a gravidade interna:
- Para uma mola ideal,
é uma propriedade da mola e independe da massa do corpo que você prende nela. - Na expressão gravitacional acima,
depende da massa do corpo que sente a força ( ). Logo se você dobrar , a “constante” também dobra. Assim, muitas vezes é mais informativo usar a constante por unidade de massa (ou seja, a constante que aparece na aceleração), que é independente de :
Essa quantidade tem unidades de
e mede a “rigidez gravitacional” por quilograma.
Passo 5
Podemos relembrar por que a força dentro de uma esfera uniforme fica proporcional a
(útil para justificar em prova). Se a densidade é uniforme, a massa encerrada até raio
é
pois a massa escala com o volume. A força gravitacional (módulo) gerada por essa massa encerrada é
e o sinal é negativo (aponta para o centro), dando a expressão do enunciado. Isso mostra a origem física da linearidade.
Passo 6
Agora vamos dar a resposta matemática explícita para (a) e (b) que você precisa anotar na prova:
(a) Sim — a força tem a forma (é linear em
e restauradora).
(b) A constante de mola efetiva, em termos gerais, é
(a) Sim — a força tem a forma
(b) A constante de mola efetiva, em termos gerais, é
Se preferirmos a constante por unidade de massa (independente de
), é
Passo 7
Vamos calcular valores numéricos para a Terra, porque é bom ter uma noção do tamanho. Dados (valores padrão aproximados):
,
,
.
Calculemos primeiro
.
Computemos numericamente (mostrando a conta de forma simples):
Logo
Passo 8
Convertendo para
de um corpo de massa
(unidade
):
Exemplos:
.
.
Resposta
(a) Sim.
(b) .
(Por unidade de massa:
.)
(b)