1. Passo 3 (Força Restauradora): Um teorema da gravitação (análogo à Lei de Gauss) afirma que a força gravitacional dentro de uma esfera uniforme a uma distância r do centro é F_{g}(r)=-\frac{G M m}{R^{3}} r.
    (a) Esta força já tem a forma de uma força restauradora linear, F=-k_{e f e t i v o} \cdot r ?
    (b) Qual é a “constante de mola efetiva” da gravidade terrestre?

Passo 1

O enunciado dá a expressão da força gravitacional dentro de uma esfera uniforme, a uma distância r do centro:
F_{g}(r) = -\frac{G M m}{R^{3}}\, r.
As perguntas são:
(a) Esta força já tem a forma de uma força restauradora linear, isto é, da forma F=-k_{\text{efetivo}}\cdot r?
(b) Qual é a “constante de mola efetiva” da gravidade terrestre?
Informações relevantes fornecidas:
\;G (constante gravitacional), \;M (massa da esfera, aqui a Terra), \;m (massa do corpo sujeito à força), \;R (raio da esfera), e a dependência linear em r explícita na fórmula acima.

Passo 2

Vamos entender o que é uma força restauradora linear (grosseiramente, a forma de uma mola de Hooke). A Lei de Hooke diz que a força elástica de uma mola ideal é proporcional ao deslocamento e dirigida para o ponto de equilíbrio:
F_{\text{mola}} = -k\,x.
Aqui:
\;k é a constante da mola (unidade \mathrm{N\,m^{-1}}),
\;x é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (unidade \mathrm{m}),
e o sinal negativo indica que a força aponta no sentido de reduzir x (restauradora).
Para reconhecer uma força como “linear restauradora” basta ver se ela é proporcional a r e tem sinal que aponta para o centro (negativo para deslocamento positivo): ou seja, ter a forma -(\text{constante})\cdot r.

Passo 3

Comparemos a forma dada por F_{g}(r) com a forma de Hooke. A expressão dada é
F_{g}(r) = -\frac{G M m}{R^{3}}\, r.
Isto é exatamente da forma -k_{\text{efetivo}}\cdot r com
k_{\text{efetivo}} = \frac{G M m}{R^{3}}.
Portanto, em termos puramente formais, a força é linear em r e tem o sinal correto para ser restauradora.

Passo 4

Comentário importante (isso ajuda na prova): embora a forma seja a mesma, observe uma diferença física entre uma mola e a gravidade interna:
  • Para uma mola ideal, k é uma propriedade da mola e independe da massa do corpo que você prende nela.
  • Na expressão gravitacional acima, k_{\text{efetivo}} depende da massa do corpo que sente a força ( m). Logo se você dobrar m, a “constante” k_{\text{efetivo}} também dobra. Assim, muitas vezes é mais informativo usar a constante por unidade de massa (ou seja, a constante que aparece na aceleração), que é independente de m:
\frac{k_{\text{efetivo}}}{m} = \frac{G M}{R^{3}}.
Essa quantidade tem unidades de \mathrm{s^{-2}} e mede a “rigidez gravitacional” por quilograma.

Passo 5

Podemos relembrar por que a força dentro de uma esfera uniforme fica proporcional a r (útil para justificar em prova). Se a densidade é uniforme, a massa encerrada até raio r é
M_{\text{enc}}(r) = M \left(\frac{r^{3}}{R^{3}}\right),
pois a massa escala com o volume. A força gravitacional (módulo) gerada por essa massa encerrada é
F = G\frac{M_{\text{enc}}(r)\,m}{r^{2}} = G\frac{M\,m}{R^{3}}\frac{r^{3}}{r^{2}} = \frac{G M m}{R^{3}}\, r,
e o sinal é negativo (aponta para o centro), dando a expressão do enunciado. Isso mostra a origem física da linearidade.

Passo 6

Agora vamos dar a resposta matemática explícita para (a) e (b) que você precisa anotar na prova:
(a) Sim — a força tem a forma -k_{\text{efetivo}}\cdot r (é linear em r e restauradora).
(b) A constante de mola efetiva, em termos gerais, é
k_{\text{efetivo}} = \frac{G M m}{R^{3}}.
Se preferirmos a constante por unidade de massa (independente de m), é
\frac{k_{\text{efetivo}}}{m} = \frac{G M}{R^{3}}.

Passo 7

Vamos calcular valores numéricos para a Terra, porque é bom ter uma noção do tamanho. Dados (valores padrão aproximados):
\;G = 6{,}67430\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}kg^{-1}s^{-2}},
\;M = 5{,}97219\times 10^{24}\\ \mathrm{kg},
\;R = 6{,}371\times 10^{6}\\ \mathrm{m}.
Calculemos primeiro \dfrac{k_{\text{efetivo}}}{m} = \dfrac{G M}{R^{3}}.
Computemos numericamente (mostrando a conta de forma simples):
R^{3} \approx (6{,}371\times 10^{6})^{3} \approx 2{,}5886\times 10^{20}\\ \mathrm{m^{3}},
G M \approx 6{,}67430\times 10^{-11}\times 5{,}97219\times 10^{24} \approx 3{,}9858\times 10^{14}\\ \mathrm{m^{3}s^{-2}}.
Logo
\frac{k_{\text{efetivo}}}{m} = \frac{G M}{R^{3}} \approx \frac{3{,}9858\times 10^{14}}{2{,}5886\times 10^{20}} \approx 1{,}539\times 10^{-6}\\ \mathrm{s^{-2}}.

Passo 8

Convertendo para k_{\text{efetivo}} de um corpo de massa \,m (unidade \mathrm{N\,m^{-1}}):
k_{\text{efetivo}} = m\cdot 1{,}539\times 10^{-6}\\ \mathrm{N\,m^{-1}}.
Exemplos:
\;m=1\\ \mathrm{kg}\Rightarrow k_{\text{efetivo}}\approx 1{,}539\times 10^{-6}\\ \mathrm{N\,m^{-1}}.
\;m=70\\ \mathrm{kg}\Rightarrow k_{\text{efetivo}}\approx 1{,}077\times 10^{-4}\\ \mathrm{N\,m^{-1}}.

Resposta

(a) Sim.
(b) k_{\text{efetivo}}=\dfrac{G M m}{R^{3}}. (Por unidade de massa: \dfrac{k_{\text{efetivo}}}{m}=\dfrac{G M}{R^{3}}\approx 1{,}539\times 10^{-6}\\ \mathrm{s^{-2}}.)

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