Passo 9: Pré-requisito para Bernoulli (Campos Conservativos). A força da gravidade é “conservativa”. Isso significa que ela pode ser expressa como o gradiente de uma função potencial escalar. Seja a energia potencial por unidade de massa U=g z, onde z é a coordenada vertical para cima. Calcule o gradiente de U, \nabla U. Como -\nabla U se compara com o vetor aceleração da gravidade \vec{g} (que aponta para baixo, na direção -z )?

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial por unidade de massa \;U = g z\;, onde \;z\; é a coordenada vertical para cima e \;g\; é a constante (valor positivo) da aceleração gravitacional. Pede-se: calcular o gradiente \nabla U e comparar -\nabla U com o vetor aceleração da gravidade \vec{g}, sabendo que \vec{g} aponta para baixo (direção -z). Essas são todas as informações relevantes.

Passo 2

O que é o gradiente de um escalar? Seja uma função escalar U(x,y,z). O operador gradiente é
\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\;\frac{\partial}{\partial y},\;\frac{\partial}{\partial z}\right),
ou seja, \nabla U reúne as derivadas parciais de U em cada direção cartesiana. Cada derivada parcial \frac{\partial U}{\partial x} significa: variação instantânea de U quando apenas x varia, mantendo y e z fixos. O resultado \nabla U é um vetor que aponta na direção de maior aumento de U e cuja magnitude é a taxa de variação nessa direção.

Passo 3

Agora aplicamos isso à função dada \;U = g z\;. Trate g como constante. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial U}{\partial x} = 0,
\frac{\partial U}{\partial y} = 0,
\frac{\partial U}{\partial z} = g.
Portanto o gradiente é
\nabla U = (0,0,g) = g\,\hat{k},
onde \hat{k} é o versor na direção +z.

Passo 4

Calcule -\nabla U:
-\nabla U = (0,0,-g) = -g\,\hat{k}.
Por convenção física a aceleração da gravidade vetorial é \vec{g} = -g\,\hat{k} (isto é, magnitude g apontando para baixo, na direção -z). Assim temos
-\nabla U = \vec{g}.
Interpretação física: a força por unidade de massa (ou aceleração) associada ao potencial U é justamente -\nabla U, e isso reproduz a aceleração gravitacional dirigida para baixo.

Resposta

\nabla U = g\,\hat{k} = (0,0,g)
-\nabla U = \vec{g} = -g\,\hat{k} = (0,0,-g)

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