Passo 9: Pré-requisito para Bernoulli (Campos Conservativos). A força da gravidade é “conservativa”. Isso significa que ela pode ser expressa como o gradiente de uma função potencial escalar. Seja a energia potencial por unidade de massa
, onde
é a coordenada vertical para cima. Calcule o gradiente de
,
. Como
se compara com o vetor aceleração da gravidade
(que aponta para baixo, na direção
)?
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial por unidade de massa
, onde
é a coordenada vertical para cima e
é a constante (valor positivo) da aceleração gravitacional. Pede-se: calcular o gradiente
e comparar
com o vetor aceleração da gravidade
, sabendo que
aponta para baixo (direção
). Essas são todas as informações relevantes.
Passo 2
O que é o gradiente de um escalar? Seja uma função escalar
. O operador gradiente é
ou seja,
reúne as derivadas parciais de
em cada direção cartesiana. Cada derivada parcial
significa: variação instantânea de
quando apenas
varia, mantendo
e
fixos. O resultado
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e cuja magnitude é a taxa de variação nessa direção.
Passo 3
Agora aplicamos isso à função dada
. Trate
como constante. Calculamos as derivadas parciais:
Portanto o gradiente é
onde
é o versor na direção
.
Passo 4
Calcule
:
Por convenção física a aceleração da gravidade vetorial é
(isto é, magnitude
apontando para baixo, na direção
). Assim temos
Interpretação física: a força por unidade de massa (ou aceleração) associada ao potencial
é justamente
, e isso reproduz a aceleração gravitacional dirigida para baixo.