Passo 8: A Equação de Euler. A 2^{\text {a }} Lei de Newton para um fluido, por unidade de volume, é \rho \vec{a}=\vec{f}_{\text {total }}. Usando suas conclusões das Partes I e II, substitua as expressões para a aceleração total \vec{a} e para a força total por volume \vec{f}_{\text {total }} para montar a equação geral do movimento para um fluido ideal.
Passo 1
O enunciado pede que eu monte a equação geral do movimento para um fluido ideal a partir da segunda lei de Newton por unidade de volume:
\rho \vec{a} = \vec{f}_{\text{total}}.
As informações relevantes que o enunciado dá (diretamente ou via Partes I e II, que devo usar) são:
a expressão para a aceleração total de uma partícula fluida (aceleração material / derivada substancial);
a expressão para a força total por unidade de volume atuando no fluido (no caso de fluido ideal: pressão + forças de corpo, sem viscosidade).
Nada mais será pedido além de montar a equação do movimento (a Equação de Euler) usando essas expressões.
Passo 2
Definindo claramente as quantidades que vamos usar (isso ajuda a não se perder na prova):
\rho=\rho(\vec{x},t) é a massa por unidade de volume (densidade) do fluido no ponto \vec{x} e tempo t.
\vec{v}=\vec{v}(\vec{x},t) é o campo de velocidade do fluido (velocidade da partícula fluida que está em \vec{x} no instante t).
\vec{a} é a aceleração de uma partícula fluida (não é só \partial\vec v/\partial t em geral).
p=p(\vec{x},t) é a pressão do fluido.
\vec{g} é a aceleração devida a forças de corpo (por exemplo, a gravidade), de modo que a força de corpo por unidade de volume é \rho\vec{g}.
Vou agora obter explicitamente a expressão para \vec{a} (Passo 3) e para \vec{f}_{\text{total}} (Passos 4 e 5), para depois substituir na segunda lei (Passo 6).
Passo 3
Derivação e explicação da aceleração material (ou derivada substancial). Uma partícula fluida que passa por posição \vec{x}(t) tem velocidade \dfrac{d\vec{x}}{dt}=\vec{v}(\vec{x}(t),t). A aceleração dessa partícula é a derivada total no tempo da sua velocidade:
\dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} é a variação local da velocidade no tempo num ponto fixo do espaço (como muda o campo de velocidade em um lugar).
(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} é o termo convectivo: representa a variação da velocidade que uma partícula sente ao se deslocar por regiões onde o campo \vec{v} varia espacialmente. Em componentes, se \vec v=(v_x,v_y,v_z),
Força de pressão sobre um elemento de volume: vamos calcular a força resultante devida à pressão num elemento infinitesimal cúbico de volume dV. Tome um cubo com faces normais às direções x,y,z. A pressão aplica forças normais nas faces; por exemplo, na direção x as forças nas faces em x e x+dx são aproximadamente:
face em x: força para a esquerda -p(x)\,dA,
face em x+dx: força para a direita +p(x+dx)\,dA.
A força resultante na direção x é
Mas atenção ao sinal físico: se a pressão cresce com x, a força líquida no cubo aponta para a direção de menor x. Ao organizar os termos, a força volumétrica (força por unidade de volume) devido à pressão é
\text{força devido à pressão por unidade de volume} = -\nabla p.
Formalmente, dividindo F_x por dV=dx\,dA e incluindo as três componentes, obtemos -\nabla p. Esse sinal negativo indica que a força por pressão atua do lado de maior pressão para o lado de menor pressão.
Passo 5
Forças de corpo (por unidade de volume): para uma força de corpo uniforme como a gravidade, a força por unidade de volume é simplesmente \rho\vec{g}. Em geral, forças de corpo por unidade de volume podem ser escritas como \rho\vec{f}_b; aqui, para o caso clássico, tomamos \vec{f}_b=\vec{g}.
Também é importante observar que, por “fluido ideal” entendemos que não há forças viscosas internas (nenhuma força viscosa por unidade de volume), então não somamos termos proporcionais a gradientes de velocidade (esses apareceriam na equação de Navier–Stokes, para fluidos viscosos).
Passo 6
Agora listo explicitamente a força total por unidade de volume usando os resultados acima:
\vec{f}_{\text{total}} = \underbrace{-\nabla p}_{\text{força de pressão por unidade de volume}} \;+\; \underbrace{\rho\vec{g}}_{\text{força de corpo por unidade de volume}}.
Passo 7
Substituo as expressões de \vec{a} (Passo 3) e \vec{f}_{\text{total}} (Passo 6) na segunda lei por unidade de volume \rho\vec a=\vec f_{\text{total}}. Assim:
\rho\left(\frac{\partial \vec v}{\partial t} + (\vec v\cdot\nabla)\vec v\right) = -\nabla p + \rho\vec g.
Esta é a forma conservativa (densidade multiplicando os termos de aceleração) da Equação de Euler para um fluido ideal.
Passo 8
Podemos também dividir toda a equação por \rho (quando \rho\neq 0) para escrever a forma aceleracional (mais direta para interpretar a aceleração por unidade de massa):
\frac{D\vec v}{Dt}=\frac{\partial \vec v}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec v=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\vec g.
Esta forma mostra claramente que a aceleração material \dfrac{D\vec v}{Dt} é gerada por dois termos: o gradiente de pressão (força por massa) e a aceleração de corpo \vec g.
Passo 9
Interpretação física rápida (para memorizar na prova):
O termo (\vec v\cdot\nabla)\vec v é o responsável por mudanças de velocidade quando o fluido entra em regiões de diferentes velocidades — lembra que, mesmo em regime estacionário (\partial\vec v/\partial t=0), partículas podem acelerar devido a variação espacial do campo.
O termo -\nabla p empurra o fluido de regiões de alta pressão para baixa pressão.
O termo \rho\vec g (ou \vec g na forma por massa) adiciona a aceleração devida a forças de corpo, como a gravidade.
Guardar as duas formas da equação é útil: a forma com \rho à esquerda
\rho\Big(\frac{\partial \vec v}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec v\Big)=-\nabla p+\rho\vec g
e a forma dividida por \rho
\frac{D\vec v}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\vec g.
Resposta
\rho\left(\frac{\partial \vec v}{\partial t} + (\vec v\cdot\nabla)\vec v\right) = -\nabla p + \rho\vec g.