Um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio igual a 3,6 \mathrm{~m}. Se ele anda ao redor da metade do círculo, qual é o módulo do vetor deslocamento?

Passo 1

O enunciado diz: um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio igual a 3,6\\ \mathrm{m}. Ele anda ao redor da metade do círculo. A pergunta que precisamos responder é: qual é o módulo do vetor deslocamento do patinador?
Informações dadas:
  • raio r = 3,6\\ \mathrm{m}.
  • o movimento percorre metade do círculo (isto é, um arco correspondente a 180^\circ ou \pi rad).
    O que se pede: o módulo (comprimento) do vetor deslocamento entre a posição inicial e a posição final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem o que é deslocamento. Deslocamento é um vetor que vai da posição inicial até a posição final; o seu módulo é a distância em linha reta entre essas duas posições. Isso é diferente do comprimento do caminho (o arco percorrido). Por exemplo, se você der uma volta semicircular, o caminho tem comprimento igual à metade da circunferência, mas o deslocamento pode ser bem menor ou maior dependendo dos pontos — aqui, vamos calcular exatamente essa distância em linha reta entre os pontos inicial e final.

Passo 3

Geometria do problema: ao percorrer metade do círculo, a posição final fica exatamente do lado oposto da posição inicial na circunferência — ou seja, são pontos diametralmente opostos. O ângulo central entre os vetores posição inicial e final é \pi rad (ou 180^\circ). Para pontos diametralmente opostos, a distância em linha reta entre eles é o comprimento do diâmetro do círculo.

Passo 4

Podemos ver isso com coordenadas (uma forma muito direta): coloque o centro do círculo na origem. Escolha a posição inicial como (r,0). Depois de andar metade do círculo, a posição final será (-r,0). O vetor deslocamento é a diferença:
\Delta \vec{r} = (-r,0) - (r,0) = (-2r,0).
O módulo desse vetor é
|\Delta \vec{r}| = |{-2r}| = 2r.
Outra forma de ver (útil em geral) é usar a fórmula do comprimento da corda que liga dois pontos com ângulo central \theta:
\text{corda} = 2r\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Aqui \theta=\pi, então \sin(\pi/2)=1 e a corda vale 2r, consistente com a argumentação anterior.

Passo 5

Agora calculamos numericamente usando r=3,6\\ \mathrm{m}:
|\Delta \vec{r}| = 2r = 2\cdot 3,6 = 7,2\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Resumo prático para a prova: sempre que o movimento for ao redor de metade de um círculo, os pontos inicial e final são diametralmente opostos, então o módulo do deslocamento é simplesmente o diâmetro 2r. Se for outro arco com ângulo \theta, use a fórmula da corda 2r\sin(\theta/2).

Resposta

7,2\\ \mathrm{m}

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