Um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio igual a
. Se ele anda ao redor da metade do círculo, qual é o módulo do vetor deslocamento?
Passo 1
O enunciado diz: um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio igual a
. Ele anda ao redor da metade do círculo. A pergunta que precisamos responder é: qual é o módulo do vetor deslocamento do patinador?
Informações dadas:
Informações dadas:
- raio
. - o movimento percorre metade do círculo (isto é, um arco correspondente a
ou rad).
O que se pede: o módulo (comprimento) do vetor deslocamento entre a posição inicial e a posição final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem o que é deslocamento. Deslocamento é um vetor que vai da posição inicial até a posição final; o seu módulo é a distância em linha reta entre essas duas posições. Isso é diferente do comprimento do caminho (o arco percorrido). Por exemplo, se você der uma volta semicircular, o caminho tem comprimento igual à metade da circunferência, mas o deslocamento pode ser bem menor ou maior dependendo dos pontos — aqui, vamos calcular exatamente essa distância em linha reta entre os pontos inicial e final.
Passo 3
Geometria do problema: ao percorrer metade do círculo, a posição final fica exatamente do lado oposto da posição inicial na circunferência — ou seja, são pontos diametralmente opostos. O ângulo central entre os vetores posição inicial e final é
rad (ou
). Para pontos diametralmente opostos, a distância em linha reta entre eles é o comprimento do diâmetro do círculo.
Passo 4
Podemos ver isso com coordenadas (uma forma muito direta): coloque o centro do círculo na origem. Escolha a posição inicial como
. Depois de andar metade do círculo, a posição final será
. O vetor deslocamento é a diferença:
O módulo desse vetor é
Outra forma de ver (útil em geral) é usar a fórmula do comprimento da corda que liga dois pontos com ângulo central
:
Aqui
, então
e a corda vale
, consistente com a argumentação anterior.
Passo 5
Agora calculamos numericamente usando
:
Passo 6
Resumo prático para a prova: sempre que o movimento for ao redor de metade de um círculo, os pontos inicial e final são diametralmente opostos, então o módulo do deslocamento é simplesmente o diâmetro
. Se for outro arco com ângulo
, use a fórmula da corda
.