Uma patinadora gira com os braços abertos com velocidade angular de 2,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Ao recolher os braços, seu momento de inércia reduz pela metade.
a) Qual será sua nova velocidade angular?
b) O que aconteceu com a energia cinética?

Passo 1

O enunciado diz que uma patinadora gira inicialmente com velocidade angular \omega_1=2,0\\ \mathrm{rad/s} e, ao recolher os braços, seu momento de inércia passa de I_1 para I_2=I_1/2. Vamos usar conservação do momento angular para achar a nova velocidade \omega_2 e calcular a energia cinética rotacional antes e depois.

Passo 2

Como não há torque externo significativo, o momento angular se conserva:
L_1 = L_2
I_1\,\omega_1 = I_2\,\omega_2.
Dessa relação isolamos \omega_2:
\omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\,\omega_1.

Passo 3

Substituindo I_2=I_1/2 na expressão de \omega_2, obtemos
\omega_2 = \frac{I_1}{I_1/2}\,\omega_1 = 2\,\omega_1 = 2\times2{,}0 = 4{,}0\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

A energia cinética rotacional é dada por K=\tfrac12I\omega^2. Calculamos:
K_1 = \tfrac12\,I_1\,\omega_1^2 = \tfrac12\,I_1\,(2{,}0)^2 = 2\,I_1,
K_2 = \tfrac12\,I_2\,\omega_2^2 = \tfrac12\,(I_1/2)\,(4{,}0)^2 = \tfrac12\,(I_1/2)\,16 = 4\,I_1.

Passo 5

Comparando as energias, vemos que
K_2 = 2\,K_1,
ou seja, a energia cinética dobra. O acréscimo de energia vem do trabalho realizado pela patinadora ao aproximar os braços.

Resposta

(a) \omega_2 = 4{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
(b) A energia cinética fica duas vezes maior; ela dobra devido ao trabalho interno da patinadora.

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