Questão 1 - Dois sinais \psi_{1}=10 \sin (3 x-6 t) e \psi_{2}=5 \sin \left(k_{2} x-12 t\right) propagam-se governados pela equação diferencial parcial,
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=\gamma \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}},
onde \gamma e k são constantes, t o tempo e x a posição, todos medidos em unidades do sistema internacional (metro, kilograma e segundo). Nos ítens abaixo, deixe constantes como \pi, 2 \pi, etc, indicadas em função de \pi (não usar nenhum valor numérico aproximado desta constante).
(a) Qual o valor das frequências de olcilação \omega_{1} e \omega_{2}(\mathrm{em} \mathrm{rad} / \mathrm{s}) dos sinais \psi_{1} e \psi_{2}, respectivamente? (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(b) Qual o valor dos comprimentos de onda \lambda_{1} e \lambda_{2}, respectivamente dos sinais \psi_{1} e \psi_{2} ? (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(c) Qual o valor de \gamma e das velocidades de propagação dos sinais? (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(d) Imagine, para este ítem, que a equação de onda acima descreve uma corda homogênea esticada, com extremidades fixas. Determine o comprimento L da corda e as constantes \omega_{n} e k_{n}(n inteiro), na representação
\psi(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \cos \left(\omega_{n} t\right) \sin \left(k_{n} x\right)
para que a menor frequência possível no movimento seja a mesma frequência do sinal \psi_{1}. (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado apresenta dois sinais
\psi_{1}(x,t)=10\sin\bigl(3x-6t\bigr)
e
\psi_{2}(x,t)=5\sin\bigl(k_{2}x-12t\bigr)
que satisfazem a equação de onda
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=\gamma\,\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}.
Vamos encontrar em cada item (a) as frequências angulares \omega_{1},\omega_{2}; (b) os comprimentos de onda \lambda_{1},\lambda_{2}; (c) o parâmetro \gamma e as velocidades de propagação; e (d) para uma corda fixa em x=0 e x=L, determinar L, \omega_{n} e k_{n} de modo que o modo fundamental tenha \omega_{1}=6.

Passo 2

Identificamos em \psi_{1} o termo de fase k_{1}x-\omega_{1}t, logo
k_{1}=3,\qquad \omega_{1}=6.
Em \psi_{2} o coeficiente junto a t é \omega_{2}=12. Ainda não conhecemos k_{2}, mas veremos que ele aparece em (c).

Passo 3

O comprimento de onda de um sinal de número de onda k é
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Assim
\lambda_{1}=\frac{2\pi}{k_{1}}=\frac{2\pi}{3},
e
\lambda_{2}=\frac{2\pi}{k_{2}}.

Passo 4

A equação de onda dá a relação de dispersão
\omega^{2}=\gamma\,k^{2}.
Para \psi_{1} temos
\gamma=\frac{\omega_{1}^{2}}{k_{1}^{2}} =\frac{6^{2}}{3^{2}} =\frac{36}{9} =4.
Logo \gamma=4 (em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}).

Passo 5

A velocidade de fase é
v=\frac{\omega}{k}=\sqrt{\gamma}=2\\ \mathrm{m/s}.
Para \psi_{2}, como \omega_{2}=12, obtemos
k_{2}=\frac{\omega_{2}}{\sqrt{\gamma}} =\frac{12}{2}=6,
de onde
\lambda_{2}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3},
e a velocidade de fase também é
v_{2}=\frac{12}{6}=2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Para a corda fixa em 0\le x\le L os modos normais são
\psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\bigl(\omega_{n}t\bigr)\,\sin\bigl(k_{n}x\bigr),
com condição \sin(k_{n}L)=0, isto é
k_{n}L=n\pi \quad\Longrightarrow\quad k_{n}=\frac{n\pi}{L}.
A frequência associada é
\omega_{n}=v\,k_{n} =2\cdot\frac{n\pi}{L} =\frac{2n\pi}{L}.
Queremos \omega_{1}=\tfrac{2\pi}{L}=6, logo
L=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}.
Desse modo
k_{n}=3n, \qquad \omega_{n}=6n.

Resposta

(a) \omega_{1}=6\\ \mathrm{rad/s},\\ \omega_{2}=12\\ \mathrm{rad/s}.
(b) \lambda_{1}=\tfrac{2\pi}{3}\\ \mathrm{m},\\ \lambda_{2}=\tfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{m}.
(c) \gamma=4\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2},\\ v_{1}=v_{2}=2\\ \mathrm{m/s}.
(d) L=\tfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{m},\\ k_{n}=3n,\\ \omega_{n}=6n (com n=1,2,3,\dots).

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