Questão 1 - Dois sinais
e
propagam-se governados pela equação diferencial parcial,
onde
e
são constantes,
o tempo e
a posição, todos medidos em unidades do sistema internacional (metro, kilograma e segundo). Nos ítens abaixo, deixe constantes como
, etc, indicadas em função de
(não usar nenhum valor numérico aproximado desta constante).
(a) Qual o valor das frequências de olcilação
e
dos sinais
e
, respectivamente? (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(b) Qual o valor dos comprimentos de onda
e
, respectivamente dos sinais
e
? (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(c) Qual o valor de
e das velocidades de propagação dos sinais? (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(d) Imagine, para este ítem, que a equação de onda acima descreve uma corda homogênea esticada, com extremidades fixas. Determine o comprimento
da corda e as constantes
e
inteiro), na representação
para que a menor frequência possível no movimento seja a mesma frequência do sinal
. (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)
(a) Qual o valor das frequências de olcilação
(b) Qual o valor dos comprimentos de onda
(c) Qual o valor de
(d) Imagine, para este ítem, que a equação de onda acima descreve uma corda homogênea esticada, com extremidades fixas. Determine o comprimento
Passo 1
O enunciado apresenta dois sinais
e
que satisfazem a equação de onda
Vamos encontrar em cada item (a) as frequências angulares
; (b) os comprimentos de onda
; (c) o parâmetro
e as velocidades de propagação; e (d) para uma corda fixa em
e
, determinar
,
e
de modo que o modo fundamental tenha
.
Passo 2
Identificamos em
o termo de fase
, logo
Em
o coeficiente junto a
é
. Ainda não conhecemos
, mas veremos que ele aparece em (c).
Passo 3
O comprimento de onda de um sinal de número de onda
é
Assim
e
Passo 4
A equação de onda dá a relação de dispersão
Para
temos
Logo
(em
).
Passo 5
A velocidade de fase é
Para
, como
, obtemos
de onde
e a velocidade de fase também é
Passo 6
Para a corda fixa em
os modos normais são
com condição
, isto é
A frequência associada é
Queremos
, logo
Desse modo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) (com
).
(b)
(c)
(d)