Paula comprou 1 caneta e 2 lápis e pagou R \ 7,00 . Carlos comprou 3 canetas e 1 lápis iguais aos de Paula e pagou R\á 11,00. Para saber quanto pagaria por 2 canetas e 1 lápis, Mariana disse aos amigos que bastaria resolver a equação matricial A \cdot B=C, em que as matrizes A, B e C são:
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 1 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{c} 7 \\\\ 11 \end{array}\right]
O valor encontrado por Mariana, em reais, foi
A) 5
B) 7
C) 8
D) 10
E) 13

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de preços de caneta x e lápis y representado pela equação matricial
A \cdot B = C
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}7\\\ 11\end{pmatrix}.
Queremos achar primeiro x e y e depois calcular quanto vale 2x+y.

Passo 2

Para resolver A\cdot B = C usamos
B = A^{-1} \,C.
Em uma matriz 2\times2
A = \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},
a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\ -c & a\end{pmatrix}.
No nosso caso,
\det(A) = 1\cdot1 - 2\cdot3 = -5
e portanto
A^{-1} = \frac{1}{-5}\begin{pmatrix}1 & -2\\\ -3 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos
B = A^{-1}C = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix}1 & -2\\\ -3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\\ 11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}.
Logo \;x=3 e \;y=2.

Passo 4

Finalmente, o valor de 2 canetas e 1 lápis é
2x + y = 2\cdot3 + 2 = 8.

Resposta

C) 8

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