PD3.2 Admita que se deseje calcular a vazão volumétrica Q em um tubo, medindo a velocidade axial u(r) em pontos específicos. Por razões de custo, apenas três pontos de medida devem ser usados. Quais são os melhores raios selecionados para esses três pontos?

Passo 1

O enunciado pede: escolher três raios onde medir a velocidade axial u(r) de modo a estimar da melhor forma possível a vazão volumétrica Q em um tubo circular, usando só três medidas. Informações relevantes do enunciado:
  • A área da secção é circular de raio R.
  • A vazão volumétrica é obtida integrando a velocidade sobre a área da secção.
  • Só podemos medir u(r) em três valores de r; precisamos escolher esses três raios para obter a melhor estimativa de Q.

Passo 2

Escrevemos a fórmula da vazão em coordenadas polares (axial simétrica):
Q = \iint_{A} u\,dA = 2\pi \int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr.
Aqui r é a coordenada radial e u(r) a velocidade axial naquele raio. Note que o integrando é u(r)\,r: há um peso r na integral radial.

Passo 3

Para escolher pontos ótimos precisamos reconhecer que isso é um problema de quadratura numérica com peso r. Uma maneira elegante é eliminar o peso fazendo a mudança de variável
s=r^{2}\quad\Rightarrow\quad ds=2r\,dr.
Substituindo na integral:
Q = 2\pi \int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr = 2\pi \cdot \frac{1}{2}\int_{0}^{R^{2}} u(\sqrt{s})\,ds = \pi \int_{0}^{R^{2}} U(s)\,ds,
onde definimos U(s)=u(\sqrt{s}). Agora a integral é uma integral padrão em s no intervalo [0,R^{2}] sem peso extra.
Comentário didático curto: essa transformação é muito útil porque transforma a quadratura com peso r em uma quadratura ordinária em s. Medir u em r é equivalente a avaliar U em s=r^{2}.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int_{0}^{R^{2}} U(s)\,ds com apenas três pontos, a escolha “ótima” (no sentido de obter exatidão para polinômios de maior grau possível) é usar a quadratura de Gauss com 3 pontos (Gauss–Legendre) no intervalo [0,R^{2}]. A quadratura de Gauss com n pontos integra exatamente polinômios de grau até 2n-1. Para n=3 isto garante exatidão até grau 5 em s.
Os nós (pontos) padrão da Gauss–Legendre de 3 pontos no intervalo [-1,1] são
x_1 = 0,\qquad x_{2,3} = \pm\sqrt{\tfrac{3}{5}}.

Passo 5

Mapeamos esses nós de [-1,1] para o intervalo [0,R^{2}] usando a afim:
s = \frac{R^{2}}{2}\,(1+x).
Assim os três nós em s ficam
s_i = \frac{R^{2}}{2}\,(1+x_i),\qquad i=1,2,3.

Passo 6

Voltamos dos s aos raios r porque as medições serão feitas em r. Como s=r^{2}, os raios ótimos são
r_i=\sqrt{s_i} = R\sqrt{\frac{1+x_i}{2}}.
Substituindo os valores x_1=0, x_2=+\sqrt{3/5}, x_3=-\sqrt{3/5} obtemos explicitamente:
r_1 = R\sqrt{\tfrac{1+0}{2}} = R\sqrt{\tfrac{1}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}\approx 0{,}70710678\,R,
r_2 = R\sqrt{\tfrac{1+\sqrt{3/5}}{2}}\approx R\sqrt{0{,}88729833}\approx 0{,}94280904\,R,
r_3 = R\sqrt{\tfrac{1-\sqrt{3/5}}{2}}\approx R\sqrt{0{,}11270167}\approx 0{,}33541020\,R.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: essas posições são as mais informativas para estimar Q quando se usa uma quadratura de 3 pontos após a transformação s=r^{2}. Em particular, perfis comuns como o de Poiseuille u(r)=U_{0}(1-(r/R)^{2}) resultam em U(s) linear em s e seriam integrados exatamente por essa quadratura — ou seja, a escolha acima é consistente com os perfis físicos usuais e é ótima no sentido de Gauss para aproximações polinomiais.

Resposta

r \approx 0{,}33541020\,R
r \approx 0{,}70710678\,R
r \approx 0{,}94280904\,R

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