PD3.2 Admita que se deseje calcular a vazão volumétrica
em um tubo, medindo a velocidade axial
em pontos específicos. Por razões de custo, apenas três pontos de medida devem ser usados. Quais são os melhores raios selecionados para esses três pontos?
Passo 1
O enunciado pede: escolher três raios onde medir a velocidade axial
de modo a estimar da melhor forma possível a vazão volumétrica
em um tubo circular, usando só três medidas. Informações relevantes do enunciado:
- A área da secção é circular de raio
. - A vazão volumétrica é obtida integrando a velocidade sobre a área da secção.
- Só podemos medir
em três valores de ; precisamos escolher esses três raios para obter a melhor estimativa de .
Passo 2
Escrevemos a fórmula da vazão em coordenadas polares (axial simétrica):
Aqui
é a coordenada radial e
a velocidade axial naquele raio. Note que o integrando é
: há um peso
na integral radial.
Passo 3
Para escolher pontos ótimos precisamos reconhecer que isso é um problema de quadratura numérica com peso
. Uma maneira elegante é eliminar o peso fazendo a mudança de variável
Substituindo na integral:
onde definimos
. Agora a integral é uma integral padrão em
no intervalo
sem peso extra.
Comentário didático curto: essa transformação é muito útil porque transforma a quadratura com peso
em uma quadratura ordinária em
. Medir
em
é equivalente a avaliar
em
.
Passo 4
Para integrar
com apenas três pontos, a escolha “ótima” (no sentido de obter exatidão para polinômios de maior grau possível) é usar a quadratura de Gauss com 3 pontos (Gauss–Legendre) no intervalo
. A quadratura de Gauss com
pontos integra exatamente polinômios de grau até
. Para
isto garante exatidão até grau
em
.
Os nós (pontos) padrão da Gauss–Legendre de 3 pontos no intervalo
são
Passo 5
Mapeamos esses nós de
para o intervalo
usando a afim:
Assim os três nós em
ficam
Passo 6
Voltamos dos
aos raios
porque as medições serão feitas em
. Como
, os raios ótimos são
Substituindo os valores
,
,
obtemos explicitamente:
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: essas posições são as mais informativas para estimar
quando se usa uma quadratura de 3 pontos após a transformação
. Em particular, perfis comuns como o de Poiseuille
resultam em
linear em
e seriam integrados exatamente por essa quadratura — ou seja, a escolha acima é consistente com os perfis físicos usuais e é ótima no sentido de Gauss para aproximações polinomiais.