PD3.5 Considere uma longa tubulação de esgoto, com água pela metade da seção, estendendo-se por um declive de ângulo \theta. Antoine Chézy, em 1768, determinou que a velocidade média desse escoamento em canal aberto seria V \approx C \sqrt{R \tan \theta}, em que R é o raio do tubo e C é uma constante. Como essa fórmula famosa relacionase à equação da energia para escoamento permanente, aplicada a um trecho de comprimento L do canal?

Passo 1

O enunciado dá um escoamento permanente, numa longa tubulação inclinada de ângulo \theta, com a água ocupando metade da seção transversal. Diz que Antoine Chézy propôs empiricamente
V \approx C \sqrt{R \tan\theta},
em que \,R é o raio do tubo e C é uma constante empírica. A pergunta é: como essa fórmula se relaciona com a equação da energia para escoamento permanente aplicada a um trecho de comprimento L do canal?
Informações relevantes fornecidas:
  • Escoamento permanente (steady).
  • Tubo longo e inclinado num ângulo \theta.
  • Água pela metade da seção (meio tubo cheio).
  • R é o raio do tubo.
  • Fórmula empírica de Chézy dada acima.

Passo 2

Apresento a equação da energia (forma usual para escoamento permanente entre duas seções 1 e 2, incluindo perda de carga h_f):
z_1+\frac{p_1}{\gamma}+\alpha_1\frac{V_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\gamma}+\alpha_2\frac{V_2^2}{2g}+h_f,
onde:
  • z é a cota geométrica (elevação),
  • p/\gamma é a cabeça de pressão ( \gamma é o peso específico do fluido),
  • \alpha é o coeficiente de correção de velocidade (aproximamos \alpha\approx1 para perfil quase uniforme),
  • V é a velocidade média na seção,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h_f é a perda de carga (energia dissipada por unidade de peso) entre as seções 1 e 2.
Explicação didática: a equação diz que a soma da elevação geométrica, da pressão convertida em cabeça e da cabeça cinética numa seção é igual à soma na outra seção mais a energia perdida por atrito. É a versão de Bernoulli com perdas.

Passo 3

Simplificações apropriadas ao problema:
  • Escoamento uniforme e permanente numa tubulação longa: a velocidade média é (praticamente) a mesma nas seções 1 e 2, V_1=V_2=V, e tomamos \alpha_1=\alpha_2\approx1.
  • As duas superfícies livres estão em contato com a mesma pressão atmosférica, logo p_1=p_2 e os termos de pressão se cancelam.
    Com isso a equação reduz para
z_1-z_2=h_f.
Ou seja, a perda de carga entre 1 e 2 é igual à queda geométrica do nível (a energia potencial convertida em perdas).

Passo 4

Definição de declividade/pendência energética por unidade de comprimento: a perda de carga por unidade de comprimento (declividade de energia) é
S_f=\frac{h_f}{L}.
A queda geométrica por unidade de comprimento, para uma tubulação inclinada de ângulo \theta, é a componente vertical por unidade de comprimento ao longo da linha do canal. Para ângulos pequenos as convenções de canal aberto aceitam usar a aproximação
S_f \approx \tan\theta
(são todas interpretações usuais de “declive”; para pequenas inclinações \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta, então essa substituição é comum). Assim, para escoamento uniforme
\frac{h_f}{L}=S_f\approx\tan\theta.

Passo 5

Agora introduzimos a relação empírica de Chézy para perda por atrito (forma clássica usada em hidráulica):
V = C \sqrt{R_h S_f},
onde:
  • V é a velocidade média,
  • C é a constante de Chézy (depende da rugosidade, Reynolds, etc. — é empírica),
  • R_h é o raio hidráulico, definido por R_h=\dfrac{A}{P} (área molhada dividido pelo perímetro molhado),
  • S_f é a declividade de energia (perda de carga por unidade de comprimento).
Explicação: essa fórmula pode ser vista como uma forma rearranjada da hipótese de que a perda de carga por unidade de comprimento é proporcional a V^2/R_h. Escrevendo S_f \propto V^2/R_h e definindo a constante convenientemente chega-se à forma acima.

Passo 6

Calcule o raio hidráulico R_h para a tubulação “meio cheia” (semicírculo de água). Para um semicírculo de raio geométrico R:
  • Área molhada:
A=\frac{\pi R^2}{2}
(peguei esses valores da geometria da figura: meio círculo).
  • Perímetro molhado (comprimento da curva em contato com a água) é a meia circunferência:
P=\pi R.
Logo
R_h=\frac{A}{P}=\frac{\frac{\pi R^2}{2}}{\pi R}=\frac{R}{2}.
Portanto, para meio tubo, R_h=R/2.

Passo 7

Substituindo R_h=R/2 e S_f\approx\tan\theta na fórmula de Chézy:
V=C\sqrt{R_h S_f}=C\sqrt{\frac{R}{2}\tan\theta}=\frac{C}{\sqrt{2}}\sqrt{R\tan\theta}.
Conclusão didática: a dependência V\propto\sqrt{R\tan\theta} surge diretamente da equação da energia combinada com uma lei de atrito que dá S_f\propto V^2/R_h. A constante empírica que aparece no enunciado pode absorver o fator numérico \tfrac{1}{\sqrt{2}} (ou seja, o C do enunciado pode ser \tfrac{C_{\text{Chézy}}}{\sqrt{2}}é), portanto a fórmula empírica dada é consistente com a equação da energia mais a definição de raio hidráulico para meio tubo.

Resposta

V = C\sqrt{R_h S_f},\quad S_f\approx\tan\theta
\text{Para meio tubo: }R_h=\frac{R}{2}\Rightarrow V=C\sqrt{\frac{R}{2}\tan\theta}=\frac{C}{\sqrt{2}}\sqrt{R\tan\theta}.

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