PD3.5 Considere uma longa tubulação de esgoto, com água pela metade da seção, estendendo-se por um declive de ângulo
. Antoine Chézy, em 1768, determinou que a velocidade média desse escoamento em canal aberto seria
, em que
é o raio do tubo e
é uma constante. Como essa fórmula famosa relacionase à equação da energia para escoamento permanente, aplicada a um trecho de comprimento
do canal?
Passo 1
O enunciado dá um escoamento permanente, numa longa tubulação inclinada de ângulo
, com a água ocupando metade da seção transversal. Diz que Antoine Chézy propôs empiricamente
em que
é o raio do tubo e
é uma constante empírica. A pergunta é: como essa fórmula se relaciona com a equação da energia para escoamento permanente aplicada a um trecho de comprimento
do canal?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Escoamento permanente (steady).
- Tubo longo e inclinado num ângulo
. - Água pela metade da seção (meio tubo cheio).
-
é o raio do tubo. - Fórmula empírica de Chézy dada acima.
Passo 2
Apresento a equação da energia (forma usual para escoamento permanente entre duas seções 1 e 2, incluindo perda de carga
):
onde:
-
é a cota geométrica (elevação), -
é a cabeça de pressão ( é o peso específico do fluido), -
é o coeficiente de correção de velocidade (aproximamos para perfil quase uniforme), -
é a velocidade média na seção, -
é a aceleração da gravidade, -
é a perda de carga (energia dissipada por unidade de peso) entre as seções 1 e 2.
Explicação didática: a equação diz que a soma da elevação geométrica, da pressão convertida em cabeça e da cabeça cinética numa seção é igual à soma na outra seção mais a energia perdida por atrito. É a versão de Bernoulli com perdas.
Passo 3
Simplificações apropriadas ao problema:
- Escoamento uniforme e permanente numa tubulação longa: a velocidade média é (praticamente) a mesma nas seções 1 e 2,
, e tomamos . - As duas superfícies livres estão em contato com a mesma pressão atmosférica, logo
e os termos de pressão se cancelam.
Com isso a equação reduz para
Ou seja, a perda de carga entre 1 e 2 é igual à queda geométrica do nível (a energia potencial convertida em perdas).
Passo 4
Definição de declividade/pendência energética por unidade de comprimento: a perda de carga por unidade de comprimento (declividade de energia) é
A queda geométrica por unidade de comprimento, para uma tubulação inclinada de ângulo
, é a componente vertical por unidade de comprimento ao longo da linha do canal. Para ângulos pequenos as convenções de canal aberto aceitam usar a aproximação
(são todas interpretações usuais de “declive”; para pequenas inclinações
, então essa substituição é comum). Assim, para escoamento uniforme
Passo 5
Agora introduzimos a relação empírica de Chézy para perda por atrito (forma clássica usada em hidráulica):
onde:
-
é a velocidade média, -
é a constante de Chézy (depende da rugosidade, Reynolds, etc. — é empírica), -
é o raio hidráulico, definido por (área molhada dividido pelo perímetro molhado), -
é a declividade de energia (perda de carga por unidade de comprimento).
Explicação: essa fórmula pode ser vista como uma forma rearranjada da hipótese de que a perda de carga por unidade de comprimento é proporcional a
. Escrevendo
e definindo a constante convenientemente chega-se à forma acima.
Passo 6
Calcule o raio hidráulico
para a tubulação “meio cheia” (semicírculo de água). Para um semicírculo de raio geométrico
:
- Área molhada:
(peguei esses valores da geometria da figura: meio círculo).
- Perímetro molhado (comprimento da curva em contato com a água) é a meia circunferência:
Logo
Portanto, para meio tubo,
.
Passo 7
Substituindo
e
na fórmula de Chézy:
Conclusão didática: a dependência
surge diretamente da equação da energia combinada com uma lei de atrito que dá
. A constante empírica que aparece no enunciado pode absorver o fator numérico
(ou seja, o
do enunciado pode ser
), portanto a fórmula empírica dada é consistente com a equação da energia mais a definição de raio hidráulico para meio tubo.