PD3.6 Coloque uma bola de tênis de mesa em um funil e conecte o lado estreito do funil a um suprimento de ar. Você provavelmente não seria capaz de soprar a bola para cima ou para fora do funil. Explique por quê.

Passo 1

O enunciado apresenta um experimento onde uma bola de tênis de mesa é colocada dentro de um funil conectado a um suprimento de ar. O problema a ser explicado é o motivo pelo qual não se consegue soprar a bola para fora do funil com o ar. O enunciado fornece as seguintes informações relevantes:
  • A bola fica encaixada no funil, com uma fenda anular para a passagem do ar.
  • Massa da bola: aproximadamente m=0{,}0027\\ \mathrm{kg}.
  • Diâmetro da bola: aproximadamente d=0{,}04\\ \mathrm{m} (raio r=0{,}02\\ \mathrm{m}).
  • Densidade do ar: \rho\approx1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}.
O objetivo é explicar, qualitativamente e com uma estimativa numérica, por que a bola permanece presa no funil quando há fluxo de ar.

Passo 2

O conceito principal para explicar o fenômeno é a equação de Bernoulli, que, em regime de escoamento estável e desprezando variações de altura significativas, relaciona pressão e velocidade de um fluido incompressível:
p+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}=\text{constante},
onde p é a pressão estática, \rho a densidade do ar e v a velocidade do fluxo. A equação indica que, se a velocidade do ar aumenta em uma região, a pressão estática nessa região diminui. O termo \tfrac{1}{2}\rho v^{2} é a pressão dinâmica, que quantifica o efeito da velocidade sobre a pressão.

Passo 3

Outro efeito relevante é o efeito de Coandă, que faz com que um jato de ar tenda a “colar” em superfícies curvas próximas, arrastando o ar vizinho e criando regiões de baixa pressão junto à superfície. No caso do funil com a bola, o jato de ar que sobe pelo bocal passa pela fenda entre a bola e a parede do funil, onde a velocidade do ar é alta. Esse jato tende a seguir as superfícies, gerando uma pressão mais baixa ao redor da bola. Em resumo, o fluxo rápido no espaço anular leva a uma pressão estática menor nessa região do que fora, resultando em forças que tendem a manter a bola presa.

Passo 4

Para que a bola seja empurrada para cima e saia do funil, a pressão média abaixo da bola (ou as forças de arraste ascendentes) devem superar o peso da bola. O peso da bola é dado por:
F_{\text{peso}}=mg,
Com os valores aproximados de m=0{,}0027\\ \mathrm{kg} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\,, temos:
F_{\text{peso}}=0{,}0027\times9{,}8\approx0{,}0265\\ \mathrm{N}.
A pressão extra necessária sobre a área projetada para vencer o peso é:
\Delta p_{\text{req}}=\frac{F_{\text{peso}}}{A},
onde A é a área de seção transversal da bola, aproximada por A=\pi r^{2}. Com r=0{,}02\\ \mathrm{m}, temos:
A=\pi(0{,}02)^{2}\approx1{,}26\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
Então:
\Delta p_{\text{req}}\approx\frac{0{,}0265}{1{,}26\times10^{-3}}\approx21\\ \mathrm{Pa}.
Isso significa que uma diferença de pressão de cerca de 21\\ \mathrm{Pa} sobre a área da bola gera uma força do mesmo tamanho do peso da bola.

Passo 5

Comparando com a queda de pressão que o escoamento pode produzir, a equação de Bernoulli indica que a diferença de pressão entre uma região com ar quase parado e uma região onde o ar se move com velocidade v é aproximadamente a pressão dinâmica:
\Delta p\sim\tfrac{1}{2}\rho v^{2}.
Para uma velocidade típica de jato de ar razoável, como v\sim 10\\ \mathrm{m/s}, e com \rho\approx1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}\,, temos:
\Delta p\sim\tfrac{1}{2}\times1{,}2\times(10)^{2}=0{,}6\times100=60\\ \mathrm{Pa}.
Mesmo para velocidades menores, como v\approx6\\ \mathrm{m/s}, a queda de pressão é \Delta p\approx \tfrac{1}{2}\times1{,}2\times36\approx21{,}6\\ \mathrm{Pa}, que já se aproxima do valor necessário. Portanto, a queda de pressão gerada pela velocidade do ar na fenda pode facilmente alcançar ou superar \Delta p_{\text{req}}\,, produzindo forças que mantêm a bola no funil.

Passo 6

Em conclusão, o ar que passa pela fenda entre a bola e as paredes do funil com alta velocidade reduz a pressão estática ao redor da bola, conforme a equação de Bernoulli. O efeito de Coandă intensifica essa região de baixa pressão. A pressão externa, em regiões de fluxo mais lento, torna-se relativamente maior e empurra a bola para dentro, criando uma força resultante que supera o peso da bola e qualquer sopro aplicado. Assim, a bola fica presa devido à diferença de pressão e aos padrões de fluxo.

Passo 7

Em uma prova, é importante identificar rapidamente (1) que há escoamento próximo à bola, (2) que velocidade maior implica pressão menor (Bernoulli), e (3) que a força de sucção pode ser comparada ao peso usando \Delta p\approx\tfrac{1}{2}\rho v^{2} e F_{\text{peso}}=mg. Se \tfrac{1}{2}\rho v^{2} for da mesma ordem ou maior que mg/A, o efeito é suficiente para manter a bola presa. Essa análise resolve qualitativamente e com uma estimativa numérica simples o porquê do fenômeno.

Resposta

A corrente de ar que sobe pelo funil passa pela fenda entre a bola e a parede com velocidade alta; pela equação de Bernoulli isso baixa a pressão nessa região e, aliado ao efeito de Coandă (o jato “colar” na superfície), cria uma sucção lateral que produz uma força resultante para dentro do funil maior que o peso da bola. Assim a bola fica presa e não sai do funil.

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