1* Uma peça de pinho Douglas de \mathbf{4 0 m m} \times \mathbf{9 0 m m} \times \mathbf{3 m} é usada como uma coluna engastada na base livre no topo. Se o módulo de Young para a madeira é de 13 GPa e um coeficiente de segurança 2 é especificado, determine:
a. O índice de esbeltez.
b. A máxima carga admissível.

Passo 1

O enunciado dá uma coluna de pinho Douglas com dimensões transversais e comprimento, além do módulo de Young e do coeficiente de segurança, e pede duas coisas:
  • Perguntas pedidas:
    a. Determinar o índice de esbeltez.
    b. Determinar a máxima carga admissível (considerando coeficiente de segurança).
  • Dados fornecidos:
    • Seção retangular: 40\\ \mathrm{mm}\times90\\ \mathrm{mm}. (Peguei estas dimensões do enunciado.)
    • Comprimento da peça: 3\\ \mathrm{m}. (Peguei isto do enunciado.)
    • Módulo de Young: E=13\\ \mathrm{GPa}. (Peguei isto do enunciado.)
    • Condições de contorno: engastada na base e livre no topo (fixo–livre). (Peguei isto do enunciado.)
    • Coeficiente de segurança: 2. (Peguei isto do enunciado.)

Passo 2

O que é o “índice de esbeltez” e como vamos calculá-lo.
  • Para colunas, usa-se normalmente o índice de esbeltez
\lambda=\frac{K\,L}{r},
onde:
  • K é o fator de comprimento efetivo dependendo das condições de contorno;
  • L é o comprimento real da coluna;
  • r é o raio de giração da seção, definido por r=\sqrt{\dfrac{I}{A}}.
  • O raio de giração mede quão “concentrada” a área está em torno do eixo neutro; quanto menor r, mais esbelta é a peça.
  • O momento de inércia I é o momento de inércia de área em relação ao eixo de flambagem (devemos usar o menor momento de inércia entre os dois eixos principais, pois a coluna flambará no modo mais crítico).
  • Não resolvemos ainda: isto foi só a definição e o plano.

Passo 3

Converter unidades e calcular a área da seção transversal.
  • Converter dimensões para metros: b=40\\ \mathrm{mm}=0,04\\ \mathrm{m},\qquad h=90\\ \mathrm{mm}=0,09\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção retangular: A=b\cdot h=0,04\cdot 0,09=0,0036\\ \mathrm{m}^2=3,6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular os momentos de inércia em torno dos dois eixos principais (centroide) para a seção retangular.
  • Fórmulas para retângulo (eixos centroidais): I_x=\frac{b\,h^3}{12},\qquad I_y=\frac{h\,b^3}{12},onde I_x é momento de inércia para flexão em torno do eixo que faz a altura h (ou seja, resistente à flambagem no plano que dobra a largura b), e I_y é o outro eixo.
  • Substituindo os números: I_x=\frac{0,04\cdot(0,09)^3}{12}=\frac{0,04\cdot0,000729}{12}= \frac{0,00002916}{12}=2,43\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4.
I_y=\frac{0,09\cdot(0,04)^3}{12}=\frac{0,09\cdot0,000064}{12}= \frac{0,00000576}{12}=4,80\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.
  • Observação: I_y é menor; a flambagem ocorrerá em torno do eixo que usa I_{\min}=I_y.

Passo 5

Calcular o raio de giração usando o menor momento de inércia (o caso crítico).
  • Definição: r=\sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}.
  • Substituindo I_{\min}=4,80\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4 e A=3,6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2: r=\sqrt{\frac{4,80\times10^{-7}}{3,6\times10^{-3}}}=\sqrt{1,333\overline{3}\times10^{-4}}=1,1547\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros (útil para intuição): r\approx0,011547\\ \mathrm{m}=11,55\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Determinar o fator K e o comprimento efetivo K L para a condição engastada na base e livre no topo.
  • Para condição fixo–livre (engastada em uma extremidade e livre na outra) o fator de comprimento efetivo é K=2.(Tabelas padrão de estabilidade para colunas dão isto; óbvio porque a coluna livre tem modo de flambagem mais extenso.)
  • Comprimento real L=3\\ \mathrm{m}, logo K L = 2\cdot 3\\ \mathrm{m}=6\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular o índice de esbeltez \lambda.
  • Fórmula: \lambda=\frac{K L}{r}.
  • Substituindo números: \lambda=\frac{6}{1,1547\times10^{-2}}\approx 519{,}6\approx 520.
  • Interpretação rápida: \lambda é adimensional; valor muito alto indica coluna muito esbelta onde flambagem de Euler é o modo crítico.

Passo 8

Lembrar a fórmula de Euler para carga crítica de flambagem e explicar variáveis.
  • Fórmula de Euler: P_{\text{cr}}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2},onde:
    • P_{\text{cr}} é a carga crítica de flambagem (em N),
    • E é o módulo de Young ( 13\\ \mathrm{GPa}=13\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}),
    • I é o momento de inércia relativo ao eixo crítico (usamos I_{\min}),
    • K L é o comprimento efetivo já calculado.
  • Nota didática: esta fórmula vem da solução da equação diferencial da curva elástica linearizada para uma barra ideal, válida quando a peça se comporta elasticamente e a flambagem é do tipo flexural (Euler).

Passo 9

Calcular P_{\text{cr}} com os números.
  • Substituir: P_{\text{cr}}=\frac{\pi^2\cdot(13\times10^{9})\cdot(4,80\times10^{-7})}{(6)^2}.
  • Calcular passo a passo: \pi^2\approx9{,}8696,
\pi^2\cdot13\times10^{9}\approx9{,}8696\cdot13\times10^{9}=1,283048\times10^{11},
1,283048\times10^{11}\cdot4,80\times10^{-7}=6,1586304\times10^{4}\\ \mathrm{N},
(K L)^2=6^2=36,
P_{\text{cr}}=\frac{6,1586304\times10^{4}}{36}=1,710730667\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
  • Assim, P_{\text{cr}}\approx1{,}711\times10^{3}\\ \mathrm{N}=1711\\ \mathrm{N}\approx0{,}171\\ \mathrm{kN}.

Passo 10

Aplicar o coeficiente de segurança para obter a máxima carga admissível.
  • Definição simples: carga admissível P_{\text{adm}}=\frac{P_{\text{cr}}}{\text{FS}},onde \text{FS}=2 (coeficiente de segurança).
  • Substituindo: P_{\text{adm}}=\frac{1710{,}73\\ \mathrm{N}}{2}=855{,}37\\ \mathrm{N}\approx855\\ \mathrm{N}.
  • Em quilonewtons: P_{\text{adm}}\approx0{,}855\\ \mathrm{kN}.

Resposta

\lambda\approx520
P_{\text{adm}}\approx855\\ \mathrm{N}

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