1* Uma peça de pinho Douglas de
é usada como uma coluna engastada na base livre no topo. Se o módulo de Young para a madeira é de 13 GPa e um coeficiente de segurança 2 é especificado, determine:
a. O índice de esbeltez.
b. A máxima carga admissível.
a. O índice de esbeltez.
b. A máxima carga admissível.
Passo 1
O enunciado dá uma coluna de pinho Douglas com dimensões transversais e comprimento, além do módulo de Young e do coeficiente de segurança, e pede duas coisas:
- Perguntas pedidas:
a. Determinar o índice de esbeltez.
b. Determinar a máxima carga admissível (considerando coeficiente de segurança). - Dados fornecidos:
- Seção retangular:
. (Peguei estas dimensões do enunciado.) - Comprimento da peça:
. (Peguei isto do enunciado.) - Módulo de Young:
. (Peguei isto do enunciado.) - Condições de contorno: engastada na base e livre no topo (fixo–livre). (Peguei isto do enunciado.)
- Coeficiente de segurança:
. (Peguei isto do enunciado.)
- Seção retangular:
Passo 2
O que é o “índice de esbeltez” e como vamos calculá-lo.
- Para colunas, usa-se normalmente o índice de esbeltez
onde:
-
é o fator de comprimento efetivo dependendo das condições de contorno; -
é o comprimento real da coluna; -
é o raio de giração da seção, definido por . - O raio de giração mede quão “concentrada” a área está em torno do eixo neutro; quanto menor
, mais esbelta é a peça. - O momento de inércia
é o momento de inércia de área em relação ao eixo de flambagem (devemos usar o menor momento de inércia entre os dois eixos principais, pois a coluna flambará no modo mais crítico). - Não resolvemos ainda: isto foi só a definição e o plano.
Passo 3
Converter unidades e calcular a área da seção transversal.
- Converter dimensões para metros:
- Área da seção retangular:
Passo 4
Calcular os momentos de inércia em torno dos dois eixos principais (centroide) para a seção retangular.
- Fórmulas para retângulo (eixos centroidais):
onde é momento de inércia para flexão em torno do eixo que faz a altura (ou seja, resistente à flambagem no plano que dobra a largura ), e é o outro eixo. - Substituindo os números:
- Observação:
é menor; a flambagem ocorrerá em torno do eixo que usa .
Passo 5
Calcular o raio de giração usando o menor momento de inércia (o caso crítico).
- Definição:
- Substituindo
e : - Converter para milímetros (útil para intuição):
Passo 6
Determinar o fator
e o comprimento efetivo
para a condição engastada na base e livre no topo.
- Para condição fixo–livre (engastada em uma extremidade e livre na outra) o fator de comprimento efetivo é
(Tabelas padrão de estabilidade para colunas dão isto; óbvio porque a coluna livre tem modo de flambagem mais extenso.) - Comprimento real
, logo
Passo 7
Calcular o índice de esbeltez
.
- Fórmula:
- Substituindo números:
- Interpretação rápida:
é adimensional; valor muito alto indica coluna muito esbelta onde flambagem de Euler é o modo crítico.
Passo 8
Lembrar a fórmula de Euler para carga crítica de flambagem e explicar variáveis.
- Fórmula de Euler:
onde: -
é a carga crítica de flambagem (em N), -
é o módulo de Young ( ), -
é o momento de inércia relativo ao eixo crítico (usamos ), -
é o comprimento efetivo já calculado.
-
- Nota didática: esta fórmula vem da solução da equação diferencial da curva elástica linearizada para uma barra ideal, válida quando a peça se comporta elasticamente e a flambagem é do tipo flexural (Euler).
Passo 9
Calcular
com os números.
- Substituir:
- Calcular passo a passo:
- Assim,
Passo 10
Aplicar o coeficiente de segurança para obter a máxima carga admissível.
- Definição simples: carga admissível
onde (coeficiente de segurança). - Substituindo:
- Em quilonewtons: