(6^{a}) Questão: [30 pontos] Assinale V ou F:
( ) [10 pontos] A função
é solução da EDO
( ) [10 pontos] A função
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e a equação diferencial a verificar:
O que se pede: afirmar se a função dada é solução da EDO (assinale V ou F). Informações úteis imediatas:
e
(porque aparecem
e
).
Passo 2
Calcular a derivada do argumento dentro do seno. Defina
Usando que a derivada de
é
, para
temos
Agora simplificamos
colocando em comum denominador:
Passo 3
Usar a regra da cadeia para derivar
. A derivada do seno é cosseno vezes a derivada do argumento, portanto
Substituindo
achada no passo anterior:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para comparar com a EDO dada:
Como
, vale a identidade trigonométrica
Dessa identidade segue que
Passo 5
Assim a expressão que obtivemos para o lado esquerdo da EDO é
A EDO dada exige precisamente o sinal positivo:
Portanto a igualdade só é verdade quando
, i.e., quando o sinal escolhido é o positivo. Em geral
depende de
e de
e pode ser negativo em alguns pontos do domínio; assim a função dada não satisfaz a EDO em toda sua extensão de definição, apenas nas sub-intervalos onde
.
Exemplo numérico rápido para ver que o sinal pode falhar: escolha
e
. Então
e
. Para esse
e
o lado esquerdo vale
enquanto o lado direito
: contradição.
Passo 6
Conclusão: a função dada não é solução da EDO de forma global (em todo o domínio), porque a derivação leva a
, e o sinal
exigido em
nem sempre ocorre. Logo a afirmação do enunciado, sem restrição adicional, é falsa. (Observação útil: a função é solução restrita às partes do domínio onde
.)
Resposta
F