(6^{a}) Questão: [30 pontos] Assinale V ou F:
( ) [10 pontos]
.
( ) [10 pontos]
Passo 1
O enunciado nos dá a soma de uma série infinita e pede para assinalar se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa:
Informações relevantes que temos:
- A soma é uma série infinita indexada por
. - Cada termo é
. - A pergunta é apenas verificar se o valor da soma é exatamente
(Verdadeiro) ou não (Falso).
Passo 2
Lembrança útil: a série geométrica básica e sua soma. Para uma variável real
com
, vale a identidade
Explicando de forma bem prática: isso diz que somando
obtemos
, desde que
para garantir convergência. Exemplo numérico rápido: se
, então
.
Passo 3
Transformação importante (truque padrão): derivando termo a termo a soma da série geométrica em função de
(válido para séries de potências dentro do raio de convergência
) obtemos
e do lado direito
Portanto temos a fórmula útil
Aqui cada símbolo significa:
é o índice da soma,
é a base da potência; a soma do lado esquerdo é uma série de potências derivada da geométrica.
Passo 4
Identificar nosso caso com a fórmula: a série dada é
Então corresponde exatamente à soma
com
. Como
, podemos aplicar a fórmula do passo anterior.
Passo 5
Aplicando a fórmula com
:
Calculemos cuidadosamente:
Passo 6
Interpretando o resultado:
é o mesmo que
. Logo
Comparando com
: claramente
. Portanto a igualdade proposta no enunciado é falsa.
Resposta
F