(6^{a}) Questão: [30 pontos] Assinale V ou F:
( ) [10 pontos] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n-1}}=5.

Passo 1

O enunciado nos dá a soma de uma série infinita e pede para assinalar se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n-1}} = 5 ?
Informações relevantes que temos:
  • A soma é uma série infinita indexada por n=1,2,3,\dots.
  • Cada termo é \dfrac{n}{3^{n-1}} = n\cdot 3^{-(n-1)}.
  • A pergunta é apenas verificar se o valor da soma é exatamente 5 (Verdadeiro) ou não (Falso).

Passo 2

Lembrança útil: a série geométrica básica e sua soma. Para uma variável real \,x com |x|<1, vale a identidade
\sum_{k=0}^{\infty} x^{k} = \frac{1}{1-x}.
Explicando de forma bem prática: isso diz que somando 1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots obtemos \dfrac{1}{1-x}, desde que |x|<1 para garantir convergência. Exemplo numérico rápido: se x=\tfrac{1}{2}, então 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\cdots = \tfrac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=2.

Passo 3

Transformação importante (truque padrão): derivando termo a termo a soma da série geométrica em função de x (válido para séries de potências dentro do raio de convergência |x|<1) obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\sum_{k=0}^{\infty} x^{k}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1}
e do lado direito
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Portanto temos a fórmula útil
\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^{2}},\qquad\text{para }|x|<1.
Aqui cada símbolo significa: k é o índice da soma, x é a base da potência; a soma do lado esquerdo é uma série de potências derivada da geométrica.

Passo 4

Identificar nosso caso com a fórmula: a série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}.
Então corresponde exatamente à soma \sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} com x=\tfrac{1}{3}. Como |x|=\tfrac{1}{3}<1, podemos aplicar a fórmula do passo anterior.

Passo 5

Aplicando a fórmula com x=\tfrac{1}{3}:
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{\bigl(1-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}}.
Calculemos cuidadosamente:
1-\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}, \qquad \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{2} = \tfrac{4}{9}, \qquad \text{então}\qquad \frac{1}{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}} = \frac{1}{\tfrac{4}{9}} = \frac{9}{4}.ã

Passo 6

Interpretando o resultado: \dfrac{9}{4} é o mesmo que 2,25. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n-1}} = \frac{9}{4} = 2,25.
Comparando com 5: claramente 2,25 \neq 5. Portanto a igualdade proposta no enunciado é falsa.

Resposta

F

Exercícios relacionados