Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça, no formato de cone circular reto, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm . Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 4 cm , a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cônicas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento.
Considere
. Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir desta peça maciça?
Passo 1
O enunciado dá uma peça maciça em forma de cone circular reto com raio da base
e altura
. Essa peça será derretida (sem perda de material) e o volume resultante será usado para fabricar esferas maciças com diâmetro
. Adota-se
. A pergunta é: quantas esferas dessas podem ser obtidas a partir de uma peça cônica?
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do volume de um cone circular reto e explicar o que cada símbolo significa. A fórmula é
onde
é o volume do cone (em unidades cúbicas),
é a constante (aqui dada como
),
é o raio da base do cone (em unidades lineares) e
é a altura do cone (em unidades lineares). Essa fórmula vem da comparação do cone com um cilindro de mesma base e altura; o volume do cone é um terço do volume desse cilindro.
Passo 3
Substituímos os valores do enunciado na fórmula do volume do cone. Primeiro calculamos
:
Agora aplicamos a fórmula:
Note que
, portanto
Fazendo a multiplicação:
Passo 4
Agora a fórmula do volume de uma esfera e o significado das variáveis. A fórmula é
onde
é o volume da esfera (em unidades cúbicas),
é a constante (aqui
) e
é o raio da esfera (em unidades lineares). No enunciado a esfera tem diâmetro
, portanto o raio é
Passo 5
Calculamos
:
Substituindo na fórmula do volume da esfera:
De novo
, então
Passo 6
Para saber quantas esferas cabem no volume total do cone (sem perda de material), dividimos os volumes:
Fazendo a divisão:
Como esperamos um número inteiro de esferas e a divisão deu um inteiro exato, podemos fabricar exatamente
esferas.
Passo 7
Verificação rápida de consistência: ambos os volumes estão em
, usamos a mesma
nas duas fórmulas, e a divisão resultou em número inteiro, então a resposta faz sentido físico (não sobra nem falta material).