Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça, no formato de cone circular reto, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm . Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 4 cm , a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cônicas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento.
Considere \pi=3. Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir desta peça maciça?

Passo 1

O enunciado dá uma peça maciça em forma de cone circular reto com raio da base r=4\\ \text{cm} e altura h=50\\ \text{cm}. Essa peça será derretida (sem perda de material) e o volume resultante será usado para fabricar esferas maciças com diâmetro 4\\ \text{cm}. Adota-se \pi=3. A pergunta é: quantas esferas dessas podem ser obtidas a partir de uma peça cônica?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do volume de um cone circular reto e explicar o que cada símbolo significa. A fórmula é
V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h,
onde V_{\text{cone}} é o volume do cone (em unidades cúbicas), \pi é a constante (aqui dada como \pi=3), r é o raio da base do cone (em unidades lineares) e h é a altura do cone (em unidades lineares). Essa fórmula vem da comparação do cone com um cilindro de mesma base e altura; o volume do cone é um terço do volume desse cilindro.

Passo 3

Substituímos os valores do enunciado na fórmula do volume do cone. Primeiro calculamos r^{2}:
r^{2}=4^{2}=16.
Agora aplicamos a fórmula:
V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 16\cdot 50.
Note que \frac{1}{3}\cdot 3=1, portanto
V_{\text{cone}}=16\cdot 50.
Fazendo a multiplicação:
V_{\text{cone}}=800\\ \text{cm}^{3}.

Passo 4

Agora a fórmula do volume de uma esfera e o significado das variáveis. A fórmula é
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R^{3},
onde V_{\text{esfera}} é o volume da esfera (em unidades cúbicas), \pi é a constante (aqui \pi=3) e R é o raio da esfera (em unidades lineares). No enunciado a esfera tem diâmetro 4\\ \text{cm}, portanto o raio é
R=\frac{4}{2}=2\\ \text{cm}.

Passo 5

Calculamos R^{3}:
R^{3}=2^{3}=8.
Substituindo na fórmula do volume da esfera:
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R^{3}=\frac{4}{3}\cdot 3\cdot 8.
De novo \frac{4}{3}\cdot 3=4, então
V_{\text{esfera}}=4\cdot 8=32\\ \text{cm}^{3}.

Passo 6

Para saber quantas esferas cabem no volume total do cone (sem perda de material), dividimos os volumes:
\text{número de esferas}=\frac{V_{\text{cone}}}{V_{\text{esfera}}}=\frac{800}{32}.ú
Fazendo a divisão:
\frac{800}{32}=25.
Como esperamos um número inteiro de esferas e a divisão deu um inteiro exato, podemos fabricar exatamente 25 esferas.

Passo 7

Verificação rápida de consistência: ambos os volumes estão em \text{cm}^{3}, usamos a mesma \pi=3 nas duas fórmulas, e a divisão resultou em número inteiro, então a resposta faz sentido físico (não sobra nem falta material).

Resposta

25 esferas

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