Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo (o diâmetro do semicírculo é igual à largura do retângulo). Se o perímetro da janela for 10 m , encontre as dimensões da janela que deixam passar a maior quantidade possível de luz.
Passo 1
O enunciado descreve uma janela composta por um retângulo de largura
e altura
com, sobre esse retângulo, um semicírculo de diâmetro
. O perímetro externo total vale 10 m e queremos maximizar a área da janela (área do retângulo mais área do semicírculo). Vamos usar otimização com restrição, expressando primeiro
em função de
a partir do perímetro e depois maximizar a área em função de
.
Passo 2
O perímetro externo é a soma da base do retângulo, das duas alturas e do arco do semicírculo. A base tem comprimento
, as duas alturas somam
e o arco do semicírculo tem comprimento metade da circunferência de diâmetro
, isto é,
. Assim a restrição é
Passo 3
Isolando
em função de
:
Passo 4
A área total é a soma da área do retângulo,
, com a área do semicírculo, que vale
. Substituindo
:
Desenvolvendo:
Passo 5
Para achar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Logo
Passo 6
Substituindo
em
, notamos que
então
Resposta
A largura e a altura que maximizam a área da janela são